Винеровский процесс
Винеровский процесс в теории случайных процессов — это математическая модель броуновского движения или случайного блуждания с непрерывным временем.
Определение
правитьСлучайный процесс , где
называется винеровским процессом, если
где – нормальное распределение со средним
и дисперсией
.Величину
, постоянную для процесса, далее будем считать равной
.
Эквивалентное определение:
– гауссовский процесс.
,
.
,
.
Непрерывность траекторий
правитьСуществует единственный винеровский процесс такой, что почти все его траектории всюду непрерывны. Поскольку обычно рассматривают именно этот процесс, то часто условие непрерывности траекторий включают в определение винеровского процесса.
Свойства винеровского процесса
править— гауссовский процесс.
— марковский процесс.
. Соответственно
и
.
.
и
- мартингалы. Здесь под мартингалом мы понимаем
- Если
— винеровский процесс, то
и
, также будет винеровским.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2a/Wiener_process_animated.gif)
- Винеровский процесс масштабно инвариантен или самоподобен. Если
— винеровский процесс, и
, то
также является винеровским процессом.
- Корреляционная функция для производной винеровского процесса является дельта-функцией.
- Траектории винеровского процесса нигде не дифференцируемы почти наверное. Производная (в обобщённом смысле) винеровского процесса — нормальный белый шум.
- Для любого заданного отрезка траектории винеровского процесса — функции неограниченной вариации на этом отрезке почти наверное.
- Для винеровского процесса справедлив закон повторного логарифма.
Многомерный винеровский процесс
правитьМногомерный ( -мерный) винеровский процесс
— это
-значный случайный процесс, составленный из
независимых одномерных винеровских процессов, то есть
,
где процессы совместно независимы.
Связь с физическими процессами
правитьВинеровский процесс описывает броуновское движение частицы, совершающей беспорядочные перемещения под влиянием ударов молекул жидкости. Константа при этом зависит от массы частицы и вязкости жидкости.
Ссылки
править- Стохастический мир — простое введение в стохастические дифференциальные уравнения