Внешняя алгебра , или алгебра Грассмана , — ассоциативная алгебра , используемая в геометрии при построении теории интегрирования в многомерных пространствах.Впервые введена Грассманом в 1844 году.
Внешняя алгебра над пространством V {\displaystyle V} обычно обозначается ⋀ V {\displaystyle \bigwedge V} .Важнейшим примером является алгебра дифференциальных форм на данном многообразии.
Определение и связанные понятия править
Внешней алгеброй ⋀ V {\displaystyle \bigwedge V} векторного пространства V {\displaystyle V} над полем K {\displaystyle K} называют ассоциативную факторалгебру тензорной алгебры T ( V ) {\displaystyle T(V)} по двустороннему идеалу I {\displaystyle I} , порождённому элементами вида x ⊗ x , x ∈ V {\displaystyle x\otimes x,x\in V} :
⋀ V = T ( V ) / I {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }V=T(V)/I} .Если характеристика поля char ( K ) ≠ 2 {\displaystyle \operatorname {char} (K)\neq 2} , то идеал I {\displaystyle I} в точности совпадает с идеалом, порождённым элементами вида x ⊗ y + y ⊗ x {\displaystyle x\otimes y+y\otimes x} .
Умножение ∧ в такой алгебре при этом называют внешним произведением . По построению оно антикоммутативно:
x ∧ y = − ( y ∧ x ) . {\displaystyle x\wedge y=-(y\wedge x).} k -й внешней степенью пространства V {\displaystyle V} называют векторное пространство ⋀ k V {\displaystyle \bigwedge \nolimits ^{k}V} , порождённое элементами вида
x 1 ∧ x 2 ∧ ⋯ ∧ x k , x i ∈ V , i = 1 , 2 , … , k , {\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},\quad x_{i}\in V,i=1,2,\ldots ,k,} причём dim ⋀ k V = ( n k ) {\displaystyle \dim {\textstyle \bigwedge }^{k}V={\binom {n}{k}}\,} и ⋀ k V {\displaystyle \bigwedge \nolimits ^{k}V} = { 0 } при k > n .
Если dim V = n {\displaystyle \dim V=n} и { e 1 , …, e n } — базис V {\displaystyle V} , то базисом ⋀ k V {\displaystyle \bigwedge \nolimits ^{k}V} является множество
{ e i 1 ∧ e i 2 ∧ ⋯ ∧ e i k | k = 1 , 2 , ⋯ , n и 1 ≤ i 1 < i 2 < ⋯ < i k ≤ n } . {\displaystyle \{\,e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}~{\big |}~~k=1,2,\cdots ,n~~{\text{ и }}~~1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\,\}.} Тогда
⋀ ( V ) = ⋀ 0 ( V ) ⊕ ⋀ 1 ( V ) ⊕ ⋀ 2 ( V ) ⊕ ⋯ ⊕ ⋀ n ( V ) , {\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)={\textstyle \bigwedge }^{0}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{1}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{2}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge }^{n}(V),} причём легко заметить, что внешняя алгебра естественным образом имеет градуировку : если α ∈ ⋀ k ( V ) {\displaystyle \alpha \in \bigwedge \nolimits ^{k}\left(V\right)} и β ∈ ⋀ p ( V ) {\displaystyle \beta \in \bigwedge \nolimits ^{p}\left(V\right)} , то
α ∧ β = ( − 1 ) k p β ∧ α ∈ ⋀ k + p ( V ) . {\displaystyle \alpha \wedge \beta =(-1)^{kp}\beta \wedge \alpha \quad \in \bigwedge \nolimits ^{k+p}\left(V\right).}
Элементы пространства ⋀ r V {\displaystyle \bigwedge \nolimits ^{r}V} называются r -векторами. В случае, когда характеристика основного поля равна 0, их можно понимать также как кососимметрические r раз контравариантные тензоры над V , {\displaystyle V,} с операцией антисимметризированного (альтернированного) тензорного произведения, то есть внешнее произведение двух антисимметрических тензоров является композицией полной антисимметризации (альтернирования) по всем индексам с тензорным произведением .В частности, внешнее произведение двух векторов можно понимать как следующий тензор: ( a ∧ b ) i j = a i b j − a j b i . {\displaystyle (\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )_{ij}=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}.} Замечание: Нет единого стандарта в том, что значит «антисимметризация». Например, многие авторы предпочитают формулу ( a ∧ b ) i j = ( a i b j − a j b i ) / 2. {\displaystyle (\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )_{ij}=(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})/2.} Внешний квадрат произвольного вектора ω ∈ ⋀ 1 V {\displaystyle \omega \in \bigwedge \nolimits ^{1}V} нулевой: ω ∧ 2 = ω ∧ ω = 0. {\displaystyle \omega ^{\wedge 2}=\omega \wedge \omega =0.} Для r -векторов при чётном r это неверно. Например ( e 1 ∧ e 2 + e 3 ∧ e 4 ) ∧ 2 = 2 ⋅ e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 ∧ e 4 . {\displaystyle (\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4})^{\wedge 2}=2\cdot \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}.} Линейно независимые системы из r {\displaystyle r} -векторов x 1 , … , x r {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{r}} и y 1 , … , y r {\displaystyle y_{1},\dots ,y_{r}} из V {\displaystyle V} порождают одно и то же подпространство тогда и только тогда, когда r {\displaystyle r} -векторы x 1 ∧ ⋯ ∧ x r {\displaystyle x_{1}\wedge \dots \wedge x_{r}} и y 1 ∧ ⋯ ∧ y r {\displaystyle y_{1}\wedge \dots \wedge y_{r}} пропорциональны.
Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М. : Факториал Пресс, 2002. — ISBN 5-88688-060-7 Шафаревич И. Р. , Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — М. : Физматлит, 2009.Шутц Б. Геометрические методы математической физики. — М. : Мир, 1984.Ефимов Н. В. Введение в теорию внешних форм. — М. : Наука , 1977.