ε-сеть (эпсилон-сеть, ε-плотное множество) для подмножества метрического пространства есть множество из того же пространства такое, что для любой точки найдётся точка , удалённая от не более чем на ε.
Связанные определения
править- Метрическое пространство, в котором для каждого
существует конечная
-сеть, называется вполне ограниченным.
- Метрика
на множестве
называется вполне ограниченной, если
— вполне ограниченное метрическое пространство.
- Семейство метрических пространств
таких, что для любого
есть натуральное число
такое, что каждое пространство
допускает
-сеть из не более чем
точек называется универсально вполне ограниченной.
- Для таких семейств выполняется аналог теоремы Громова о компактности.
- Топологическое пространство, гомеоморфное вполне ограниченному метрическому пространству, называется метризуемым вполне ограниченной метрикой.
Примеры
править- Для стандартной метрики множество рациональных чисел — ε-сеть для множества вещественных для любого ε > 0.
- Множество целых чисел — ε-сеть для множества вещественных для
Свойства
править- Метрическое пространство имеет эквивалентную вполне ограниченную метрику тогда и только тогда, когда оно сепарабельно.
- Топологическое пространство метризуемо вполне ограниченной метрикой тогда и только тогда, когда оно регулярно и удовлетворяет второй аксиоме счётности.
- Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограниченно. В чуть более общей формулировке, теорема Хаусдорфа о компактности гласит, что для относительной компактности подмножества
метрического пространства
необходимо, а в случае полноты пространства
и достаточно, чтобы при любом
существовала конечная ε-сеть из элементов множества
.
Необходимость
Пусть множество (относительно) компактно. Зафиксируем
и рассмотрим любой элемент
. Если
для любого
, то конечная ε-сеть из одного элемента уже построена. В противном случае найдется элемент
такой, что
. Имеются далее две возможности. Либо для любого
по крайней мере одно из чисел
или
меньше
, и тогда конечная ε-сеть из двух элементов уже построена, либо найдется элемент
такой, что
,
, и так далее. Покажем, что процесс построения точек
оборвется после конечного числа шагов, что означает, что конечная ε-сеть будет построена. Если бы это было не так, то получилась бы последовательность
, для которой
при
. Но тогда ни сама последовательность
ни любая её подпоследовательность не может сходиться, что противоречит компактности множества
. Итак, для компактного множества
мы построили конечную ε-сеть, точки которой принадлежат самому множеству.
Достаточность
Пусть при любом существует ε-сеть для множества
. Возьмем числовую последовательность
, где
при
и для каждого
построим
-сеть
. Рассмотрим произвольную последовательность
. Так как
есть
-сеть для
, то, каков бы ни был элемент
, будем иметь, что
для хотя бы одного элемента
. Поэтому любой элемент
попадает хотя бы в один шар
, то есть все множество
, а тем более вся последовательность
разместится в этих шарах. Так как шаров конечное число, а последовательность
бесконечна, то найдется хотя бы один шар
, который будет содержать бесконечную подпоследовательность
нашей последовательности. Это рассуждение можно повторить и для
. Составим диагональную подпоследовательность
. Покажем, что эта последовательность сходится в себе. Так как
и
при
входят в
-ю подпоследовательность, а
-я подпоследовательность содержится в шаре
, то
при
. По предположению, пространство
полное. Поэтому из сходимости в себе последовательности
следует её сходимость к некоторому пределу, а это и доказывает возможность выделения из любой последовательности
сходящейся подпоследовательности, то есть (относительная) компактность множества
[1]
- Полное метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда для любого
в нём существует компактная ε-сеть.
Примечания
править- ↑ Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968 — стр. 59.
Литература
править- Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов. Курс метрической геометрии. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 512 стр. ISBN 5-93972-300-4.
- Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.