Группа Гротендика
Группа Гротендика — понятие абстрактной алгебры, имеющее многочисленные приложения, в том числе в теории представлений, алгебраической геометрии, K-теории. Названа в честь французского математика Александра Гротендика, который ввёл это понятие в середине 1950-х годов.
Пусть — коммутативный моноид, т. е. коммутативная полугруппа с нейтральным элементом. Операцию в назовём сложением. Группа Гротендика моноида (обозначается обычно или ) — это абелева группа, которая является (в определённом смысле) расширением моноида до группы, т. е. допускает операцию не только суммы, но и разности двух элементов.
Универсальное свойство
правитьГоворя неформально, группа Гротендика коммутативного моноида — это универсальный способ сделать из моноида абелеву группу, «группифицировать» моноид.
Пусть — коммутативный моноид. Тогда его группа Гротендика
должна обладать следующим универсальным свойством: существует гомоморфизм моноидов
такой, что для любого гомоморфизма моноидов
в абелеву группу существует единственный гомоморфизм абелевых групп
такой, что
В терминах теории категорий функтор, переводящий коммутативный моноид в его группу Гротендика
, является левым сопряжённым функтором забывающего функтора из категории абелевых групп в категорию коммутативных моноидов.
Явное определение
правитьРассмотрим декартово произведение , элементами которого являются пары
, где
. По определению, пары
соответствуют разностям
, сложение которых задается формулой
Определённое таким образом сложение обладает свойствами ассоциативности и коммутативности (вытекающими из аналогичных свойств моноида ).
Для того, чтобы определить группу Гротендика , нужно ввести на множестве
отношение эквивалентности, при котором эквивалентными являются элементы
и
, для которых выполнено равенство
с некоторым элементом . Выполнение свойств рефлексивности, симметричности и транзитивности проверяется тривиально. В силу данного определения, класс эквивалентности элемента
включает в себя элементы
при всех
. Этот класс называется формальной разностью элементов
и
и обозначается
.
Множество определенных таким образом формальных разностей (классов эквивалентности) с операцией сложения составляет группу Гротендика моноида
.
Нейтральный (нулевой) элемент группы — это класс эквивалентности, состоящий из пар вида
при всевозможных
. Элемент, противоположный к элементу
, имеет вид
(и в первом, и во втором случае подразумеваются соответствующие классы эквивалентности).
Имеется естественное вложение , которое позволяет считать
расширением
. Именно, каждому элементу
ставится в соответствие формальная разность
, т.е. класс элементов
при всевозможных
.
Примеры
правитьПростейший пример группы Гротендика — построение целых чисел по натуральным. Сначала мы проверяем, что натуральные числа с обычным сложением действительно образуют коммутативный моноид. Теперь, используя конструкцию группы Гротендика, рассмотрим формальные разности натуральных чисел
с отношением эквивалентности
Теперь определим
для всех . Эта конструкция определяет целые числа
.
Ссылки
править- Grothendieck group Архивная копия от 14 мая 2011 на Wayback Machine на PlanetMath.
- Michael Atiyah. K-Theory, (Notes taken by D. W. Anderson, Fall 1964), published in 1967, W. A. Benjamin Inc., New York.
- Jonathan Rosenberg. Algebraic K-Theory and Its Applications, Springer Verlag, 1994, ISBN 3-540-94248-3.