Интерполяционная формула Брахмагупты
Интерполяционная формула Брахмагупты — интерполяционная формула второго полиномиального порядка, найденная индийским математиком и астрономом Брахмагуптой (598—668) в начале VII века. Поэтическое описание этой формулы на санскрите находится в дополнительной части «Кхандакхадьяки» — труда, завершённого Брахмагуптой в 665 году[1]. Такой же куплет имеется в более ранней его работе «Дхьяна-граха-адхикара», точная дата создания которой не установлена. Однако внутренняя взаимосвязь работ позволяет предположить, что она была создана ранее завершённого в 628 году основного труда учёного — «Брахма-спхута-сиддханта[англ.]», поэтому создание интерполяционной формулы второго порядка может быть отнесено к первой четверти VII века[1]. Брахмагупта был первым, кто нашёл и использовал формулу в конечных разностях второго порядка в истории математики[2][3].
Формула Брахмагупты совпадает с интерполяционной формулой второго порядка Ньютона, которая была найдена (переоткрыта) спустя более тысячи лет.
Задача
правитьБудучи астрономом, Брахмагупта был заинтересован в получении точных значений синуса на основе небольшого количества известных табулированных значений этой функции. Таким образом, перед ним стояла задача найти величину ,
по имеющимся в таблице значениям функции:
… | … | |||||||
… | … |
При условии, что значения функции вычислены в точках с постоянным шагом , (
для всех
), Ариабхата предложил использовать для расчётов (табличные) первые конечные разности:
Математики до Брахмагупты использовали очевидную формулу линейной интерполяции
,
где .
Брахмагупта заменил в этой формуле дугой функцией конечных разностей, которая позволяет получать более точные по порядку значения интерполируемой функции.
Алгоритм вычислений Брахмагупты
правитьВ терминологии Брахмагупты разность называется прошлый отрезок (गत काण्ड),
называется полезный отрезок (भोग्य काण्ड). Длина отрезка
до точки интерполирования в минутах называется обрубком (विकल). Новое выражение, которое должно заменить
называется правильным полезным отрезком (स्फुट भोग्य काण्ड). Вычисление правильного полезного отрезка описано в куплете[4][1]:
Согласно комментарию Бхуттопалы (X век) стихи переводятся так[1][5]: Умножь обрубок на полуразность полезного и прошлого отрезков и раздели результат на 900. Добавь результат к полусумме полезного и прошлого отрезков, если эта полусумма меньше полезного отрезка. Если больше, то вычти. Получишь правильную полезную разность[6].
900 минут (15 градусов) — это интервал между аргументами табличных значений синуса, которыми пользовался Брахмагупта.
Формула Брахмагупты в современных обозначениях
правитьВ современных обозначениях алгоритм вычислений Брахмагупты выражается формулами:
Доказательство
правитьНеизвестно как Брахмагупта получил эту формулу[1]. В наше время такие формулы доказывают с помощью разложения функций в правой расти равенства в ряд Тейлора в точке
. Однако доказать формулу можно и элементарными методами: после замены
формула Брахмагупты задаёт параболу проходящую через три точки
. Для вывода этой формулы достаточно найти коэффициенты этой параболы с помощью решения системы трёх линейных уравнений, определяемых этими точками.
Точность формулы
правитьКомпьютерный расчёт показывает, что имея таблицу из 7 значений синуса в узлах с шагом 15 градусов, Брахмагупта мог вычислять эту функцию с максимальной ошибкой не более 0,0012 и средней ошибкой не более 0,00042.
Примечания
править- ↑ 1 2 3 4 5 Gupta, R. C. Second-order interpolation in Indian mathematics upto the fifteenth century (англ.) // Indian Journal of History of Science : journal. — Vol. 4, no. 1 & 2. — P. 86—98.
- ↑ Van Brummelen, Glen[англ.]. The mathematics of the heavens and the earth: the early history of trigonometry (англ.). — Princeton University Press, 2009. — P. 329. — ISBN 9780691129730. (p.111)
- ↑ Meijering, Erik. A Chronology of Interpolation From Ancient Astronomy to Modern Signal and Image Processing (англ.) // Proceedings of the IEEE[англ.] : journal. — 2002. — March (vol. 90, no. 3). — P. 319—342. — doi:10.1109/5.993400.
- ↑ Dhyana-Graha-Upadesa-Adhyaya, 17; Khandaka Khadyaka, IX, 8
- ↑ Raju, C K. Cultural foundations of mathematics: the nature of mathematical proof and the transmission of the calculus from India to Europe in the 16th c. CE (англ.). — Pearson Education India[англ.], 2007. — P. 138—140. — ISBN 9788131708712.
- ↑ Завершающая часть алгоритма связана с тем, что математики до Брахмагупты и длительное время после него не пользовались понятием отрицательного числа. Поэтому реально вычислялась не разность, а модуль разности
, а потом это неотрицательное число прибавлялось или вычиталось, в зависимости от знака разности, определяемого с помощью неравенства.
- ↑ Milne-Thomson, Louis Melville. The Calculus of Finite Differences (неопр.). — AMS Chelsea Publishing, 2000. — С. 67—68. — ISBN 9780821821077.
- ↑ Hildebrand, Francis Begnaud. Introduction to numerical analysis (неопр.). — Courier Dover Publications, 1987. — С. 138—139. — ISBN 9780486653631.