Ковёр Серпинского
Ковёр Серпинского (квадрат Серпинского) — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1916 г.[1]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/55/Sierpinski6.png/200px-Sierpinski6.png)
Построение
правитьИтеративный метод
править![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/28/Animated_Sierpinski_carpet.gif/220px-Animated_Sierpinski_carpet.gif)
Квадрат делится прямыми, параллельными его сторонам, на 9 равных квадратов. Из квадрата
удаляется внутренность центрального квадрата. Получается множество, состоящее из 8 оставшихся квадратов «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из квадратов первого ранга, получим множество
, состоящее из 64 квадратов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность
пересечение членов которой есть ковер Серпинского.
Метод хаоса
править- 1. Задаются координаты 8 точек-аттракторов. Ими являются вершины и середины сторон исходного квадрата
.
- 2. Вероятностное пространство
разбивается на 8 равных частей, каждая из которых соответствует одному аттрактору.
- 3. Задаётся некоторая начальная точка
, лежащая внутри квадрата
.
- 4. Начало цикла построения точек, принадлежащих множеству ковра Серпинского.
- 1. Генерируется случайное число
.
- 2. Активным аттрактором становится та вершина, на вероятностное подпространство которой выпало сгенерированное число.
- 3. Строится точка
с новыми координатами:
,
- где:
— координаты предыдущей точки
;
— координаты активной точки-аттрактора.
- где:
- 1. Генерируется случайное число
- 5. Возврат к началу цикла.
Свойства
править- Ковёр Серпинского представляет собой частный случай многоугольного множества Серпинского. Он состоит из 8 одинаковых частей, коэффициент подобия 1/3.
- Ковер Серпинского замкнут.
- Ковер Серпинского имеет топологическую размерность 1.
- Ковер Серпинского имеет промежуточную (то есть не целую) Хаусдорфову размерность
. В частности,
- имеет нулевую меру Лебега.
- Если гиперболическая группа имеет одномерную границу и при этом не является полупрямым произведением, то её граница гомеоморфна ковру Серпинского.
См. также
правитьПримечания
править- ↑ W. Sierpinski. Sur une courbe cantorienne qui contient une image biunivoquet et continue detoute courbe donnée. //Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. - Paris. – Tome 162, Janvier - Juin 1916. - Pp. 629 – 632. - [1]Архивная копия от 24 августа 2021 на Wayback Machine
Ссылки
правитьМедиафайлы по теме Ковёр Серпинского на Викискладе
- Variations on the Theme of Tremas II (англ.)
- Печенье Серпинского (англ.)
- Ковёр Серпинского на сайте FractalWorld
🔥 Top keywords: Заглавная страницаЯндексСлужебная:ПоискЧемпионат Европы по футболу 2024YouTubeГодовщины свадьбыБоливияБастрыкин, Александр ИвановичСписок умерших в 2024 годуГоловоломка 2Микаутадзе, ЖоржПацаны (4-й сезон)Редкинский опытный заводРоссияКварацхелия, ХвичаПеткевич, Наталья ВладимировнаКриштиану РоналдуЧемпионат Европы по футболуАссанж, ДжулианДень молодёжи (Россия)Сборная Грузии по футболуПацаны (телесериал)Рыженков, Максим ВладимировичЧайлдфри27 июняПутин, Владимир ВладимировичTelegramАлсуЗюганов, Геннадий АндреевичБерезин, Сергей Евгеньевич (хоккеист)Чикатило, Андрей РомановичЭлектрическое напряжениеБотулизмЧемпионат Европы по футболу 2020Фуриоса: Хроники Безумного МаксаВторжение России на Украину (с 2022)Коббс, БиллМагасумов, Ирек ИльдусовичДом Дракона