Липшицево отображение
Липшицево отображение (липшицевское отображение[1], также -липшицево отображение) — отображение, увеличивающее расстояние между образами точек не более чем в раз, где называется константой Липшица данной функции. Названо в честь Рудольфа Липшица.
Определение
правитьОтображение метрического пространства
в метрическое пространство
называется липшицевым, если найдётся такая константа
(константа Липшица этого отображения), что
при любых
. Это условие называют условием Липшица. Отображение с
(1-липшицево отображение) называют также коротким отображением.
Липшицево отображение называется билипшицевым, если у него существует обратное
, которое также является липшицевым.
Отображение называется колипшицевым, если существует константа
такая, что для любых
и
найдётся
такое, что
.
История
правитьОтображения со свойством:
впервые рассматривалось Липшицем в 1864 году для вещественных функций в качестве достаточного условия для сходимости ряда Фурье к своей функции.Впоследствии условием Липшица стало принято называть это условие только при , а при
— условием Гёльдера.
Свойства
править- Любое отображение Липшица равномерно непрерывно.
- Суперпозиция липшицевой и интегрируемой функции интегрируема.
- (Лемма о липшицевости) Непрерывно дифференцируемая функция на компактном подмножестве евклидова пространства удовлетворяет условию Липшица. Обратное утверждение не верно.
- Теорема Радемахера утверждает, что любая липшицева функция, определённая на открытом множестве в евклидовом пространстве, дифференцируема на нём почти всюду.
- Теорема Киршбрауна о продолжении утверждает, что любое
-липшицевское отображение из подмножества евклидова пространства в другое евклидово пространство может быть продолжено до
-липшицевского отображения на всё пространство.
Вариации и обобщения
править- Понятие липшицевой функции естественным образом обобщается на функции с ограниченным модулем непрерывности, так как условие Липшица эквивалентно условию
.
- Показатель Гёльдера
Примечания
править- ↑ Федерер Г. Геометрическая теория меры. — 1987. — 760 с.
В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |