Нормирование (алгебра)
Норми́рование — отображение элементов поля или целостного кольца в некоторое упорядоченное поле , обладающее следующими свойствами:
- 1) и только при
- 2)
- 3)
Если вместо 3) выполняется более сильное условие:
- 3a) , то нормирование называется неархимедовым.
Значение называется нормой элемента . Если упорядоченное поле является полем вещественных чисел , то нормирование часто называют абсолютным значением.
Нормы и называются эквивалентными, если равносильно .
Примеры нормирований
править- Нормирование, при котором
,
для остальных
. Такое нормирование называется тривиальным.
- Обычная абсолютная величина в поле вещественных чисел
и модуль в поле комплексных чисел
являются нормированием.
- Пусть
— поле рациональных чисел, а
— некоторое простое число. Любое рациональное число можно представить в виде дроби
, где
и
не кратны
. Можно определить следующее нормирование
. Это нормирование является неархимедовым и называется p-адическим нормированием.
Согласно теореме Островского[англ.], любая нетривиальная норма на эквивалентна либо абсолютной величине
, либо р-адическому нормированию.
Свойства нормы
править- Для вещественнозначного нормирования выполняется свойство
(здесь предполагается, что на поле вещественных чисел задана обычная норма - модуль числа)
- Вещественнозначное нормирование является неархимедовым тогда и только тогда, когда существует положительное число
, такое, что для любой суммы единичных элементов поля
:
- 3b)
Пусть данное условие выполнено. Тогда для любых элементов и
из поля
имеем:
Извлекая из обеих частей корень и переходя к пределу при , получаем условие 3a).[источник не указан 3958 дней] Обратное утверждение очевидно.[источник не указан 3958 дней]
Нормированное поле как метрическое пространство
правитьИз свойств 1-3 немедленно следует, что, определяя расстояние между двумя элементами вещественнозначного нормированного поля как норму разности
, мы превращаем его в метрическое пространство, в случае неархимедовой нормы — в ультраметрическое пространство. Разные нормы определяют разные метрики. Эквивалентные нормы определяют одинаковую топологию в
.
Пополнение
правитьКак и для любого метрического пространства, можно ввести понятие полноты и доказать, что любое нормированное поле изоморфно вкладывается в полное нормированное поле
, то есть существует изоморфизм
. Норма в
продолжает норму в
, то есть для каждого
из
:
, причём
плотно в
относительно этой нормы. Любое такое поле
определено однозначно с точностью до изоморфизма, сохраняющего нормы (изометрии) и тождественного на
; оно называется пополнением поля
.
Пример. Пополнением поля рациональных чисел с p-адической метрикой является поле p-адических чисел
.
Экспоненциальное нормирование
правитьПусть — отображение из мультипликативной группы поля
в некоторую вполне упорядоченную абелеву группу, такое, что
- 1)
- 2)
Удобно также доопределить эту функцию в нуле: . Групповая операция на
определена следующим образом:
для любого
,
упорядочена таким образом, чтобы быть больше всех элементов первоначальной группы. При этом свойства 1) и 2) остаются верными.
В терминологии Бурбаки функция с такими свойствами называется нормированием. Также термин «нормирование» для такой функции используют Атья и Макдональд[1] и Ленг.[2] Однако некоторые авторы оставляют термин «нормирование» для функции, обладающей свойствами, перечисленными в начале этой статьи, а нормирование в терминах Бурбаки называют экспоненциальным нормированием. Область значений отображения называют группой нормирования, а множество тех элементов
поля
, для которых
— кольцом нормирования (обозначение —
), нетрудно проверить, что оно действительно является кольцом.
Дискретное нормирование — это экспоненциальное нормирование, являющееся отображением в аддитивную группу целых чисел. В этом случае кольцо нормирования называется кольцом дискретного нормирования.
Примечания
правитьЛитература
править- Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
- Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 2.
- Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.