Теоремы Силова
В теории групп теоремы Си́лова представляют собой неполный вариант обратной теоремы к теореме Лагранжа и для некоторых делителей порядка группы G гарантируют существование подгрупп такого порядка. Теоремы доказаны норвежским математиком Петером-Людвигом Силовом в 1872 г.
Определения
правитьПусть — конечная группа, а
— простое число, которое делит порядок
. Подгруппы порядка
называются
-подгруппами.
Выделим из порядка группы максимальную степень
,то есть
, где
не делится на
.Тогда силовской
-подгруппой называется подгруппа
, имеющая порядок
.
Теоремы
правитьПусть — конечная группа. Тогда:
- Силовская
-подгруппа существует.
- Всякая
-подгруппа содержится в некоторой силовской
-подгруппе. Все силовские
-подгруппы сопряжены (то есть каждая представляется в виде
, где
— элемент группы, а
— силовская подгруппа из теоремы 1).
- Количество силовских
-подгрупп
сравнимо с единицей по модулю
(
) и делит
, где
и
.
Следствие
правитьЕсли все делители , кроме 1, после деления на
дают остаток, отличный от единицы, то в
есть единственная силовская
-подгруппа и она является нормальной (и даже характеристической).
Например: Докажем, что группа порядка 350 не может быть простой. , значит, силовская 5-подгруппа имеет порядок 25.
должно делить 14 и сравнимо с 1 по модулю 5.Этим условиям удовлетворяет только единица.Значит, в
одна силовская 5-подгруппа, а значит, она нормальна, и поэтому
не может быть простой.
Доказательства
правитьПусть — примарный по
делитель порядка
.
1. Докажем теорему индукцией по порядку . При
теорема верна. Пусть теперь
.Пусть
— центр группы
.Возможны два случая:
а) делит
. Тогда в центре существует циклическая группа
(как элемент примарного разложения центра), которая нормальна в
. Факторгруппа
по этой циклической группе имеет меньший порядок, чем
, значит, по предположению индукции, в ней существует силовская
-подгруппа. Рассмотрим её прообраз в
. Он и будет нужной нам силовской
-подгруппой
.
б) не делит
. Тогда рассмотрим разбиение
на классы сопряжённости:
(поскольку если элемент лежит в центре, то его класс сопряжённости состоит из него одного). Порядок
делится на
, значит, должен найтись класс
, порядок которого не делится на
. Соответствующий ему централизатор
имеет порядок
,
. Значит, по предположению индукции, в нём найдётся силовская
-подгруппа — она и будет искомой.
2. Пусть — произвольная
-подгруппа
. Рассмотрим её действие на множестве левых классов смежности
левыми сдвигами, где
— силовская
-подгруппа. Число элементов любой нетривиальной орбиты должно делиться на
. Но
не делится на
, значит, у действия есть неподвижная точка
. Получаем
, а значит,
, то есть
лежит целиком в некоторой силовской
-подгруппе.
Если при этом — силовская
-подгруппа, то она сопряжена с
.
3. Количество силовских p-подгрупп есть [G:NG(P)], значит, оно делит |G|. По теореме 2, множество всех силовских p-подгрупп есть X = {gPg-1}. Рассмотрим действие P на X сопряжениями. Пусть при этом действии H из X — неподвижная точка. Тогда P и H принадлежат нормализатору подгруппы H и при этом сопряжены в NG(H) как его силовские p-подгруппы. Но H нормальна в своём нормализаторе, значит, H = P и единственная неподвижная точка действия — это P. Поскольку порядки всех нетривиальных орбит кратны p, получаем .
Нахождение силовской подгруппы
правитьПроблема нахождения силовской подгруппы данной группы является важной задачей вычислительной теории групп. Для групп перестановок Уильям Кантор доказал, что силовская p-подгруппа может быть найдена за время, полиномиальное от размера задачи (в данном случае это порядок группы, помноженный на количество порождающих элементов).
Литература
править- А. И. Кострикин. Введение в алгебру. Ч. III. М.: Физматлит, 2001.
- Э. Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал-Пресс, 2002.