Трёхгранник Френе
Репер или трёхгранник Френеили Френе — Серреизвестный также, какестественный,сопровождающий,сопутствующий — ортонормированный репер в трёхмерном пространстве, возникающий при изучении бирегулярных кривых, то есть таких, что первая и вторая производная линейно независимы в любой точке.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/43/Frenet-%CE%BD%CF%84%CE%B2.svg/200px-Frenet-%CE%BD%CF%84%CE%B2.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Frenet-Serret-frame_helix_around_torus.gif/200px-Frenet-Serret-frame_helix_around_torus.gif)
Определение
правитьПусть — произвольная натурально параметризованная бирегулярная кривая в евклидовом пространстве. Под репером Френе понимают тройку векторов
,
,
, сопоставленную каждой точке бирегулярной кривой
, где
— единичный касательный вектор,
— единичный вектор главной нормали,
— единичный вектор бинормали к кривой в данной точке.
Свойства
править- Если
— естественный параметр
кривой, то векторы
связаны соотношениями:
- называемыми формулами Френе. Величины
- называют, соответственно, кривизной и кручением кривой в данной точке.
- Функции
и
определяют кривую с точностью до движения пространства.
- Более того в случае если
, такая кривая существует.
- Более того в случае если
Трёхгранник Френе играет важную роль в кинематике точки при описании её движения в «сопутствующих осях». Пусть материальная точка движется по произвольной бирегулярной кривой. Тогда, очевидно, скорость точки направлена по касательному вектору . Дифференцируя по времени находим выражение для ускорения:
. Компоненту при векторе
называют тангенциальным ускорением, она характеризует изменение модуля скорости точки. Компоненту при векторе
называют нормальным ускорением.Она показывает, как меняется направление движения точки.
Вариации и обобщения
правитьПри описании плоских кривых часто вводят понятие так называемой ориентированной кривизны.
Пусть — произвольная натурально параметризованная плоская регулярная кривая. Рассмотрим семейство единичных нормалей
, таких что двойка
образуют правый базис в каждой точке
. Ориентированной кривизной кривой
в точке
называют число
. В сделанных предположениях имеет место следующая система уравнений, называемая формулами Френе для ориентированной кривизны
.
По аналогии с трёхмерным случаем, уравнения вида называются натуральными уравнениями плоской регулярной кривой и полностью её определяют.
См. также
править- Трёхгранник Дарбу — аналогичная конструкция для кривой на поверхности.
Литература
править- Топоногов, В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 978-5-89155-213-5.