Накрытие — непрерывное сюръективное отображение линейно связного пространства на линейно связное пространство , такое, что у любой точки найдётся окрестность , полный прообраз которой представляет собой объединение попарно непересекающихся областей :
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/thumb/3/31/RtoC_CoverMap.jpg/220px-RtoC_CoverMap.jpg)
- ,
причём на каждой области отображение является гомеоморфизмом между и .
Формальное определение
править![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/16/Covering_space_diagram.svg/250px-Covering_space_diagram.svg.png)
Отображение линейно связного пространства
на линейно связное пространство
называется накрытием, если у любой точки
имеется окрестность
, для которой существует гомеоморфизм
, где
— дискретное пространство, такое что если
обозначает естественную проекцию, то
.
Связанные определения
править- Пространство
называется базой накрытия, а
— пространством накрытия (или накрывающим пространством).
- Прообраз
точки
называют слоем над точкой
.
- Число областей
в полном прообразе
называется числом листов.
- Если это число конечно и равно
, то накрытие называется
-листным.
- Если это число конечно и равно
- Накрытие
называется универсальным если для любого другого накрытия
существует накрытие
такое, что
.
Примеры
править- Пусть
обозначает единичную окружность комплексной плоскости
.
,
.
,
, где
,
.
Свойства
править- Накрытия являются локальными гомеоморфизмами
- Накрытия являются частным случаем локально тривиальных расслоений. Их можно рассматривать как локально тривиальные расслоения с дискретным слоем.
- Все двулистные накрытия регулярны.
- Универсальное накрытие регулярно.
Связь с фундаментальной группой
правитьОбычно накрытие рассматривается в предположении связности и
и также локальной односвязности
.При этих предположениях устанавливается связь между фундаментальными группами
и
: если
, то индуцированный гомоморфизм
, отображает
изоморфно на подгруппу в
и, меняя точку
в
, можно получить в точности все подгруппы из некоторого класса сопряжённых подгрупп.
Если этот класс состоит из одной подгруппы (то есть
— нормальный делитель), то накрытие называется регулярным.В этом случае возникает свободное действие группы
на
, причём
оказывается факторотображением на пространство орбит
.Вообще, свободные действия дискретных групп — обычный источник регулярных накрытий (над пространством орбит, хотя и не всякое такое действие задает накрытие, пространство орбит может оказаться неотделимым),но это так для конечных групп.Это действие порождается поднятием петель: если петле
,
, сопоставить единственный путь
, для которого
и
, то точка
будет зависеть только откласса этой петли в
и от точки
.Таким образом, элементу из
отвечает перестановка точек в
.Эта перестановка не имеет неподвижных точек и непрерывно зависит от точки
.Это определяет гомеоморфизм
, коммутирующий с
.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ae/Hawaiian_earrings.png/220px-Hawaiian_earrings.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/57/%D0%9D%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D0%BD%D0%B8%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D1%80%D1%8B%D1%82%D0%B8%D0%B5.svg/220px-%D0%9D%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D0%BD%D0%B8%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D1%80%D1%8B%D1%82%D0%B8%D0%B5.svg.png)
В общем случае эта конструкция определяет лишь перестановку в , то есть имеется действие
на
, называемое монодромией накрытия.Частным случаем регулярного накрытия является универсальное накрытие, для которого
или, что эквивалентно, X — односвязно.
Вообще, по каждой группе однозначно строится накрытие
, для которого образ
есть
.
Для любого отображения линейно связного пространства
в
поднятие его до отображения
существует тогда и только тогда, когда образ
лежит в
.Между накрытиями
имеется отношение частичного порядка (накрытие накрытия есть накрытие), двойственное включению подгрупп в
.В частности, универсальное накрытие является единственным максимальнымэлементом.
Литература
править- Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1986.
- Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — (Библиотечка «Квант», вып. 21).