Cauchy-följd
En cauchyföljd är en talföljd där skillnaden mellan två tal i följden är godtyckligt liten så länge talen dyker upp tillräckligt sent i följden. Begreppet är uppkallat efter den franske matematikern Augustin Louis Cauchy.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/51/Cauchy_sequence_illustration.png/250px-Cauchy_sequence_illustration.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f4/Cauchy_sequence_illustration2.png/250px-Cauchy_sequence_illustration2.png)
Begreppet är svagare än den vanliga konvergensen, det vill säga varje konvergent talföljd är också en cauchyföljd, medan det finns cauchyföljder som inte är konvergenta.
Ett rum i vilket alla cauchyföljder konvergerar (mot något element i samma rum) kallas fullständigt. Exempel på fullständiga rum är de reella talen och de komplexa talen. Ett exempel på ett rum som inte är fullständigt är de rationella talen.
Definition
redigeraI ett metriskt rum är en följd av element
en cauchyföljd om avståndet mellan element,
, går mot noll då index
och
går mot oändligheten oberoende av varandra :
I ord: För varje ε finns ett sådant att två godtyckliga element med index större än
har ett avstånd som är mindre än ε.
Då ett normerat rum även är ett metriskt rum, kan man enkelt överföra definitionen på normerade rum:
Där har ersatts med
. Exempelvis blir de reella och komplexa talen normerade rum med absolutbeloppet som norm.
Egenskaper
redigeraVarje konvergent följd är en cauchyföljd.
- Bevis
En följd av element i ett metriskt rum
konvergerar mot ett element
om avståndet mellan
och
går mot noll då index
går mot oändligheten :
Om vi väljer två index oberoende av varandra, så ger triangelolikheten att avståndet mellan elementen
och
kan begränsas uppåt:
vilket visar att är en cauchyföljd.
Exempel
redigeraFöljande exempel visar att huruvida en cauchyföljd konvergerar beror på det metriska rummet (X,d) och inte på själva cauchyföljden.
- Låt det metriska rummet vara det öppna intervallet
tillsammans med metriken
(absolutbeloppet av talet
).
- Sekvensen
definierad som
- är en cauchyföljd, eftersom avståndet mellan två godtyckliga element
- då index
oberoende av varandra. Följden konvergerar mot talet
, men detta tal är inte ett element i det metriska rummet
. Därför konvergerar cauchyföljden inte i det givna metriska rummet.