Funktor
Inom kategoriteorin i matematik är en funktor en tillordning som på ett naturligt sätt till varje objekt i en kategori associerar något objekt i samma eller en annan kategori.
Inledning
redigeraEn mycket vanlig konstruktion i matematiken är att man till en struktur av en viss typ associerar en annan struktur. Några exempel på sådana konstruktioner är:
- Till ett topologiskt rum associerar man dess homologigrupper
- Till en ring associerar man dess maximala fraktionsring
- Till en grupp associerar man dess centrum
- Till ett komplex associerar man dess homologikomplex
- Givet en abelsk grupp
, associerar man till varje abelsk
grupp gruppen av homomorfismer
Om en sådan association är sådan att avbildningar mellan två strukturer på ett naturligt sätt inducerar avbildningar mellan de associerade strukturerna, kallas associationen för en funktor. Mer allmänt kan man definiera funktorer mellan två kategorierAlla associationer i listan ovan är funktorer.
Kovariant och kontravariant funktor
redigeraEn kovariant funktor är en funktor som bevarar ordningen på morfierna.
En kontravariant funktor är en funktor som kastar om ordningen på morfierna.
Om termen "funktor" används utan att variansen anges, så syftar termen oftast på en kovariant funktor.
Definitioner
redigeraGivet två kategorier så är en (kovariant) funktor
ett par av tillordningar
där
avbildar objekt i
på objekt i
och
avbildar morfier i
på morfier i
sådan att följande är sant:
- Om
och
så gäller
- Om
så
För en kontravariant funktor ersätts villkoren med:
- Om
och
så gäller
- Om
så
Funktorer med extra egenskaper
redigeraLåt vara en (kovariant) funktor och låt som brukligt
beteckna mängden av morfismer från objektet
till objektet
i kategorin
(dito för kategorin
). Funktorn
ger för varje par
av objekt i
en avbildning
.
Funktorn sägs vara trogen om varje sådan
är injektiv. Den sägs vara full om varje sådan
är surjektiv. En funktor som är både trogen och full sägs vara fullt trogen.