Likformig konvergens
Inom matematiken sägs en följd av funktioner konvergera likformigt mot en funktion på en mängd om följande villkor uppfylls:
- För varje finns ett så att för alla gäller att implicerar
Detta skall jämföras med villkoret att följden endast konvergerar (punktvis konvergens), som lyder enligt följande:
- För varje och så finns ett så att medför att
Exempel
redigera- Följden
konvergerar likformigt mot
på
.
- Följden
konvergerar mot
för alla
i
, men inte likformigt
- Följden
konvergerar, men inte likformigt, mot funktionen
på intervallet
där
är funktionen som har värdet
i punkten
och värdet
annars.
Egenskaper
redigeraLikformig konvergens är ett viktigt begrepp i analysens grunder, eftersom det används för att sluta sig till egenskaper hos en funktion som är gränsvärdet av en följd
utifrån egenskaper hos funktionerna
. Till exempel gäller att en om en följd av kontinuerliga funktioner konvergerar likformigt mot en funktion, är även denna funktion kontinuerlig. I exempel 3 ovan är varje
kontinuerlig medan gränsfunktionen,
, är diskontinuerlig varför funktionsföljden inte kan konvergera likformigt.
Att en funktionsföljd konvergerar punktvis mot en funktion
är ett krav för likformig konvergens. Den likformiga gränsfunktionen är då nödvändigtvis
. Med supremumnormen kan vi säga att en funktionsföljd konvergerar om och endast om:
,
vilket är ekvivalent med definitionen ovan, men oftast enklare att räkna med. Processen blir då att först bestämma den punktvisa gränsfunktionen och sedan kontrollera gränsvärdet:
som ska vara om vi har likformig konvergensen.
Ett annat bra sätt att ta reda på om en funktionsserie konvergerar är med Weierstrass majorantsats.
Gränsövergång under integraltecknet
redigeraOm vi har en funktionsföljd som konvergerar likformigt på intervallet [a,b] så gäller det att:
Detta är långt ifrån självklart och därför en viktig motivering till begreppet likformighet
Bevis
redigeraLåt oss teckna . Vidare ger oss kravet på likformighet att:
då
och
Vi undersöker vårt påstådda gränsvärde:
då
Vilket bekräftar vår tes
Funktionsserie
redigeraVi kan även betrakta en funktionsserie där
och
som konvergerar likformigt då
där
är konvergensområdet. Med denna notation fås att:
Bevis
redigeraVilket skulle visas.