ปัญหาบาเซิล

วิธีการของออยเลอร์ มาจากการพิจารณาคุณสมบัติบางประการของพหุนามจำกัด แลัวสมมุติว่าคุณสมบัติเหล่านี้ยังคงเป็นจริงในกรณีอนันต์ หรืออนุกรมกำลัง

ออยเลอร์เริ่มต้นด้วยการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ ของฟังก์ชันไซน์:

${\displaystyle \sin {x}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+...}$

ซึ่งออยเลอร์มองฝั่งขวาเป็นพหุนามที่มีจำนวนพจน์เป็นอนันต์ แล้วใช้คุณสมบัติที่ว่าพหุนามใด ๆ สามารถเขียนเป็นผลคูณของตัวประกอบดีกรีหนึ่งได้ ซึ่งรากของฟังก์ชันไซน์อยู่ที่ ${\displaystyle 0,\pm \pi ,\pm 2\pi ,\pm 3\pi ,...}$ จึงได้เป็นผลคูณว่า

${\displaystyle x(x-\pi )(x+\pi )(x-2\pi )(x+2\pi )(x-3\pi )(x+3\pi )...=x(x^{2}-\pi ^{2})(x^{2}-2^{2}\pi ^{2})(x^{2}-3^{2}\pi ^{2})...}$

หรือเขียนอีกแบบได้เป็น

${\displaystyle Ax\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2^{2}\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{3^{2}\pi ^{2}}}\right)...}$

ซึ่งจากสมบัติว่า ${\displaystyle {\frac {sinx}{x}}\rightarrow 1}$ เมื่อ ${\displaystyle x\rightarrow 0}$ แสดงว่า ${\displaystyle A=1}$ ดังนั้น

${\displaystyle x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+...=\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2^{2}\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{3^{2}\pi ^{2}}}\right)...}$

จับสัมประสิทธิ์ของ ${\displaystyle x^{3}}$ ทั้งสองข้างมาเท่ากัน จะได้ว่า

${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {1}{3!}}&=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}\pi ^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}\pi ^{2}}}-...\\{\frac {\pi ^{2}}{6}}&=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+...\end{aligned}}}$

สรุปได้ว่า ${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ เป็นผลรวมของอนุกรม^[2]

• A013661 จาก The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences®

บทความคณิตศาสตร์นี้ยังเป็นโครง คุณสามารถช่วยวิกิพีเดียได้โดยการเพิ่มเติมข้อมูล

• ด
• ค
• ก