Cebirde sonlu alan veya Galois alanı (Évariste Galois'e ithaf edilsin diye bu adla adlandırıldı), sonlu sayıda elemandan oluşan bir cisimdir. Herhangi bir alan olarak düşünülürse sonlu alan, değişme, çarpma, toplama, çıkarma ve (sıfırdan farklı) bölme işlemlerinin tanımlandığı bir kümedir. Sonlu alanlara yaygın örnek, ℤ/3ℤ veya ℤ/7ℤ gibi tam sayı olan asal tam sayılar modülü verilebilir.
Sonlu alanlar yalnızca, (p bir asal sayı ve k pozitif tam sayı olan) pk asal kuvveti için geçerlidir. Her bir asal kuvvet için bu boyuta sahip tek sonlu alan vardır. Bu boyuttaki tüm alanlar izomorfiktir. pk boyutuna sahip bir alanın karakteristiği p dir. Bu, sonuç sıfır olana kadar her elemanın kopyalanarak pye eklenmesi anlamına gelir. Örneğin; ℤ/2ℤ (tam sayı mod 2), 1 + 1 = 0 olduğunda karakteristiği 2 olur. ℤ/5ℤ, 0 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = vb. olduğunda karakteristiği 5 olur.
q kuvvetine sahip bir sonlu alanda Xq − X polinomunun tüm ögeleri, onun kökleri olur. Böylece q farklı doğrusal faktörleri elde edilir.
Sonlu alanlara, sayılar teorisi, cebirsel geometri, Galois teorisi, sonlu geometri, kriptografi ve kodlama kuramı da dahil matematik ve bilgisayar biliminde çok sık rastlanır.
| + | 0 | 1 | α | α+1 |
|---|
| 0 | 0 | 1 | α | α+1 |
|---|
| 1 | 1 | 0 | α+1 | α |
|---|
| α | α | α+1 | 0 | 1 |
|---|
| α+1 | α+1 | α | 1 | 0 |
|---|
| | × | 0 | 1 | α | α+1 |
|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
|---|
| 1 | 0 | 1 | α | α+1 |
|---|
| α | 0 | α | α+1 | 1 |
|---|
| α+1 | 0 | α+1 | 1 | α |
|---|
|
Matris tam sayıları modül 2'yi ifade eden sekiz ögeli alan öge (0) öge (1) öge (2) öge (3) 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 öge (4) öge (5) öge (6) öge (7) 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0+/ (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)(0) 0 1 2 3 4 5 6 7(1) 1 0 4 7 2 6 5 3(2) 2 4 0 5 1 3 7 6(3) 3 7 5 0 6 2 4 1(4) 4 2 1 6 0 7 3 5(5) 5 6 3 2 7 0 1 4(6) 6 5 7 4 3 1 0 2(7) 7 3 6 1 5 4 2 0x/ (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)(0) 0 0 0 0 0 0 0 0(1) 0 1 2 3 4 5 6 7(2) 0 2 3 4 5 6 7 1(3) 0 3 4 5 6 7 1 2(4) 0 4 5 6 7 1 2 3(5) 0 5 6 7 1 2 3 4(6) 0 6 7 1 2 3 4 5(7) 0 7 1 2 3 4 5 6
Matris tam sayıları modül 3'ü ifade eden 9 ögeli alan öge (0) öge (1) öge (2) 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 öge (3) öge (4) öge (5) 1 1 1 2 2 0 1 2 2 0 0 2 öge (6) öge (7) öge (8) 0 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 0+/ (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)(0) 0 1 2 3 4 5 6 7 8(1) 1 5 3 8 7 0 4 6 2(2) 2 3 6 4 1 8 0 5 7(3) 3 8 4 7 5 2 1 0 6(4) 4 7 1 5 8 6 3 2 0(5) 5 0 8 2 6 1 7 4 3(6) 6 4 0 1 3 7 2 8 5(7) 7 6 5 0 2 4 8 3 1(8) 8 2 7 6 0 3 5 1 4x/ (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)(0) 0 0 0 0 0 0 0 0 0(1) 0 1 2 3 4 5 6 7 8(2) 0 2 3 4 5 6 7 8 1(3) 0 3 4 5 6 7 8 1 2(4) 0 4 5 6 7 8 1 2 3(5) 0 5 6 7 8 1 2 3 4(6) 0 6 7 8 1 2 3 4 5(7) 0 7 8 1 2 3 4 5 6(8) 0 8 1 2 3 4 5 6 7
F16,a + b x + c x2 + d x3 polinomu ile ifade edilir.
a, b, c ve d tam sayı modül 2 dir.
Polinomlar, x4 = 1 + x kuralı kullanılarak x kuvvetleri ile elde edilir.
.
ö ( 0) ö ( 1) ö ( 2) ö ( 3)[ 0 0 0 0] [ 1 0 0 0] [ 0 1 0 0] [ 0 0 1 0]ö ( 4) ö ( 5) ö ( 6) ö ( 7)[ 0 0 0 1] [ 1 1 0 0] [ 0 1 1 0] [ 0 0 1 1]ö ( 8) ö ( 9) ö (10) ö (11)[ 1 1 0 1] [ 1 0 1 0] [ 0 1 0 1] [ 1 1 1 0]ö (12) ö (13) ö (14) ö (15)[ 0 1 1 1] [ 1 1 1 1] [ 1 0 1 1] [ 1 0 0 1]+/ 0_ 1_ 2_ 3_ 4_ 5_ 6_ 7_ 8_ 9_10_11_12_13_14_15_ 0_ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1_ 1 0 5 9 15 2 11 14 10 3 8 6 13 12 7 4 2_ 2 5 0 6 10 1 3 12 15 11 4 9 7 14 13 8 3_ 3 9 6 0 7 11 2 4 13 1 12 5 10 8 15 14 4_ 4 15 10 7 0 8 12 3 5 14 2 13 6 11 9 1 5_ 5 2 1 11 8 0 9 13 4 6 15 3 14 7 12 10 6_ 6 11 3 2 12 9 0 10 14 5 7 1 4 15 8 13 7_ 7 14 12 4 3 13 10 0 11 15 6 8 2 5 1 9 8_ 8 10 15 13 5 4 14 11 0 12 1 7 9 3 6 2 9_ 9 3 11 1 14 6 5 15 12 0 13 2 8 10 4 710_ 10 8 4 12 2 15 7 6 1 13 0 14 3 9 11 511_ 11 6 9 5 13 3 1 8 7 2 14 0 15 4 10 1212_ 12 13 7 10 6 14 4 2 9 8 3 15 0 1 5 1113_ 13 12 14 8 11 7 15 5 3 10 9 4 1 0 2 614_ 14 7 13 15 9 12 8 1 6 4 11 10 5 2 0 315_ 15 4 8 14 1 10 13 9 2 7 5 12 11 6 3 0x/ 0_ 1_ 2_ 3_ 4_ 5_ 6_ 7_ 8_ 9_10_11_12_13_14_15_ 0_ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1_ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2_ 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 3_ 0 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 4_ 0 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 5_ 0 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 6_ 0 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 7_ 0 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 8_ 0 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 9_ 0 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 810_ 0 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 911_ 0 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1012_ 0 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1113_ 0 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1214_ 0 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1315_ 0 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
F25, a + b√2 sayıları ile ifade edilir.a ve b, tam sayı modül 5 dir.
2 + √2 kuvvetleri ile elde edilir.
| ö (0) | ö (1) | ö (2) | ö (3) | ö (4) |
| 0 + 0√2 | 1 + 0√2 | 2 + 1√2 | 1 + 4√2 | 0 + 4√2 |
| ö (5) | ö (6) | ö (7) | ö (8) | ö (9) |
| 3 + 3√2 | 2 + 4√2 | 2 + 0√2 | 4 + 2√2 | 2 + 3√2 |
| ö (10) | ö (11) | ö (12) | ö (13) | ö (14) |
| 0 + 3√2 | 1 + 1√2 | 4 + 3√2 | 4 + 0√2 | 3 + 4√2 |
| ö (15) | ö (16) | ö (17) | ö (18) | ö (19) |
| 4 + 1√2 | 0 + 1√2 | 2 + 2√2 | 3 + 1√2 | 3 + 0√2 |
| ö (20) | ö (21) | ö (22) | ö (23) | ö (24) |
| 1 + 3√2 | 3 + 2√2 | 0 + 2√2 | 4 + 4√2 | 1 + 2√2 |
| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
|---|
| 1 | 1 | 7 | 18 | 6 | 3 | 12 | 14 | 19 | 22 | 5 | 20 | 2 | 10 | 0 | 23 | 16 | 11 | 21 | 15 | 13 | 9 | 8 | 24 | 4 | 17 |
|---|
| 2 | 2 | 18 | 8 | 19 | 7 | 4 | 13 | 15 | 20 | 23 | 6 | 21 | 3 | 11 | 0 | 24 | 17 | 12 | 22 | 16 | 14 | 10 | 9 | 1 | 5 |
|---|
| 3 | 3 | 6 | 19 | 9 | 20 | 8 | 5 | 14 | 16 | 21 | 24 | 7 | 22 | 4 | 12 | 0 | 1 | 18 | 13 | 23 | 17 | 15 | 11 | 10 | 2 |
|---|
| 4 | 4 | 3 | 7 | 20 | 10 | 21 | 9 | 6 | 15 | 17 | 22 | 1 | 8 | 23 | 5 | 13 | 0 | 2 | 19 | 14 | 24 | 18 | 16 | 12 | 11 |
|---|
| 5 | 5 | 12 | 4 | 8 | 21 | 11 | 22 | 10 | 7 | 16 | 18 | 23 | 2 | 9 | 24 | 6 | 14 | 0 | 3 | 20 | 15 | 1 | 19 | 17 | 13 |
|---|
| 6 | 6 | 14 | 13 | 5 | 9 | 22 | 12 | 23 | 11 | 8 | 17 | 19 | 24 | 3 | 10 | 1 | 7 | 15 | 0 | 4 | 21 | 16 | 2 | 20 | 18 |
|---|
| 7 | 7 | 19 | 15 | 14 | 6 | 10 | 23 | 13 | 24 | 12 | 9 | 18 | 20 | 1 | 4 | 11 | 2 | 8 | 16 | 0 | 5 | 22 | 17 | 3 | 21 |
|---|
| 8 | 8 | 22 | 20 | 16 | 15 | 7 | 11 | 24 | 14 | 1 | 13 | 10 | 19 | 21 | 2 | 5 | 12 | 3 | 9 | 17 | 0 | 6 | 23 | 18 | 4 |
|---|
| 9 | 9 | 5 | 23 | 21 | 17 | 16 | 8 | 12 | 1 | 15 | 2 | 14 | 11 | 20 | 22 | 3 | 6 | 13 | 4 | 10 | 18 | 0 | 7 | 24 | 19 |
|---|
| 10 | 10 | 20 | 6 | 24 | 22 | 18 | 17 | 9 | 13 | 2 | 16 | 3 | 15 | 12 | 21 | 23 | 4 | 7 | 14 | 5 | 11 | 19 | 0 | 8 | 1 |
|---|
| 11 | 11 | 2 | 21 | 7 | 1 | 23 | 19 | 18 | 10 | 14 | 3 | 17 | 4 | 16 | 13 | 22 | 24 | 5 | 8 | 15 | 6 | 12 | 20 | 0 | 9 |
|---|
| 12 | 12 | 10 | 3 | 22 | 8 | 2 | 24 | 20 | 19 | 11 | 15 | 4 | 18 | 5 | 17 | 14 | 23 | 1 | 6 | 9 | 16 | 7 | 13 | 21 | 0 |
|---|
| 13 | 13 | 0 | 11 | 4 | 23 | 9 | 3 | 1 | 21 | 20 | 12 | 16 | 5 | 19 | 6 | 18 | 15 | 24 | 2 | 7 | 10 | 17 | 8 | 14 | 22 |
|---|
| 14 | 14 | 23 | 0 | 12 | 5 | 24 | 10 | 4 | 2 | 22 | 21 | 13 | 17 | 6 | 20 | 7 | 19 | 16 | 1 | 3 | 8 | 11 | 18 | 9 | 15 |
|---|
| 15 | 15 | 16 | 24 | 0 | 13 | 6 | 1 | 11 | 5 | 3 | 23 | 22 | 14 | 18 | 7 | 21 | 8 | 20 | 17 | 2 | 4 | 9 | 12 | 19 | 10 |
|---|
| 16 | 16 | 11 | 17 | 1 | 0 | 14 | 7 | 2 | 12 | 6 | 4 | 24 | 23 | 15 | 19 | 8 | 22 | 9 | 21 | 18 | 3 | 5 | 10 | 13 | 20 |
|---|
| 17 | 17 | 21 | 12 | 18 | 2 | 0 | 15 | 8 | 3 | 13 | 7 | 5 | 1 | 24 | 16 | 20 | 9 | 23 | 10 | 22 | 19 | 4 | 6 | 11 | 14 |
|---|
| 18 | 18 | 15 | 22 | 13 | 19 | 3 | 0 | 16 | 9 | 4 | 14 | 8 | 6 | 2 | 1 | 17 | 21 | 10 | 24 | 11 | 23 | 20 | 5 | 7 | 12 |
|---|
| 19 | 19 | 13 | 16 | 23 | 14 | 20 | 4 | 0 | 17 | 10 | 5 | 15 | 9 | 7 | 3 | 2 | 18 | 22 | 11 | 1 | 12 | 24 | 21 | 6 | 8 |
|---|
| 20 | 20 | 9 | 14 | 17 | 24 | 15 | 21 | 5 | 0 | 18 | 11 | 6 | 16 | 10 | 8 | 4 | 3 | 19 | 23 | 12 | 2 | 13 | 1 | 22 | 7 |
|---|
| 21 | 21 | 8 | 10 | 15 | 18 | 1 | 16 | 22 | 6 | 0 | 19 | 12 | 7 | 17 | 11 | 9 | 5 | 4 | 20 | 24 | 13 | 3 | 14 | 2 | 23 |
|---|
| 22 | 22 | 24 | 9 | 11 | 16 | 19 | 2 | 17 | 23 | 7 | 0 | 20 | 13 | 8 | 18 | 12 | 10 | 6 | 5 | 21 | 1 | 14 | 4 | 15 | 3 |
|---|
| 23 | 23 | 4 | 1 | 10 | 12 | 17 | 20 | 3 | 18 | 24 | 8 | 0 | 21 | 14 | 9 | 19 | 13 | 11 | 7 | 6 | 22 | 2 | 15 | 5 | 16 |
|---|
| 24 | 24 | 17 | 5 | 2 | 11 | 13 | 18 | 21 | 4 | 19 | 1 | 9 | 0 | 22 | 15 | 10 | 20 | 14 | 12 | 8 | 7 | 23 | 3 | 16 | 6 |
|---|
| × | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
|---|
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
|---|
| 2 | 0 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 1 |
|---|
| 3 | 0 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 1 | 2 |
|---|
| 4 | 0 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 1 | 2 | 3 |
|---|
| 5 | 0 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|
| 6 | 0 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|
| 7 | 0 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|
| 8 | 0 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|
| 9 | 0 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|
| 10 | 0 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|
| 11 | 0 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|
| 12 | 0 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
|---|
| 13 | 0 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|
| 14 | 0 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
|---|
| 15 | 0 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
|---|
| 16 | 0 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|
| 17 | 0 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
|---|
| 18 | 0 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
|---|
| 19 | 0 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
|---|
| 20 | 0 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
|---|
| 21 | 0 | 21 | 22 | 23 | 24 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
|---|
| 22 | 0 | 22 | 23 | 24 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
|---|
| 23 | 0 | 23 | 24 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
|---|
| 24 | 0 | 24 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 |
|---|
