Геометрична прогресія

Позначимо перший член ${\displaystyle a_{1},}$ а знаменник прогресії ${\displaystyle r}$ . Тоді другий член ${\displaystyle a_{2}=a_{1}\cdot r}$ , третій — ${\displaystyle a_{3}=a_{2}\cdot r=a_{1}\cdot r^{2}}$ , четвертий — ${\displaystyle a_{4}=a_{3}\cdot r=a_{1}\cdot r^{3}}$ , і так далі.

Тому вираз n-ного члена буде: ${\displaystyle a_{n}=a_{1}\cdot r^{n-1}}$

Знайдемо суму перших ${\displaystyle n}$ членів геометричної прогресії

${\displaystyle S_{n}=a(r^{0}+r^{1}+r^{2}+r^{3}+...+r^{n-1})\,}$

Помножимо та поділимо праву частину на ${\displaystyle (r-1)\,}$ (${\displaystyle r}$ не може бути 1), добуток ${\displaystyle (1+r+r^{2}+r^{3}+...+r^{n-1})\,}$ на ${\displaystyle (r-1)\,}$ дає ${\displaystyle (r^{n}-1)\,}$ , оскільки решта елементів взаємно знищуються, звідси отримаємо:

${\displaystyle S_{n}=a\sum _{k=0}^{n-1}r^{k}=a{\frac {r^{n}-1}{r-1}}}$

Якщо ${\displaystyle \left|r\right|<1}$ і ${\displaystyle n\to \infty }$ то ${\displaystyle r^{n}\to 0}$ , тоді: ${\displaystyle S_{n}\to {a \over 1-r}}$

Формула для суми геометричної прогресії також зручна для обрахунку відсотків по банківських вкладах. Припустимо, Ви кладете $2,000 в банк під 5 % річних. Скільки грошей Ви матимете на рахунку через 6 років?

2,000 · 1.05⁶ = 2680.19

Геометрична прогресія лежить на основі побудови рядів переважних чисел.

• Регресія (статистика)
• Арифметична прогресія
• Ефект снігової кулі

• Елементарна математика. Алгебра. Новітні інформаційні технології навчання (Maple)/ В.М.Михалевич, А.Ф. Дода ; Вінниц. нац. техн. ун-. - Вінниця : ВНТУ, 2010 [Архівовано 7 червня 2013 у Wayback Machine.]

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — Москва : Наука, 1973. — 832 с.(рос.)

Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.