Лінеаризація
Лінеаризáція — (лат. linearis — лінійний), один з методів наближеного подання нелінійних систем, при якому дослідження нелінійної системи замінюється аналізом лінійної системи, в деякому розумінні еквівалентної початковій. Методи лінеаризації мають обмежений характер, тобто еквівалентність початкової нелінійної системи і її лінійного наближення зберігається лише при певному «режимі» роботи системи, а якщо система переходить з одного режиму роботи на іншій, то слід змінити і її лінеаризировану модель. Застосовуючи лінеаризацію, можна з'ясувати багато якісних і особливо кількісних властивостей нелінійної системи.
Лінеаризація функції
ред.Лінеаризація функції — це дієвий метод для наближеного обчислення значення функції в будь-якій
беручи за основу нахил функції в
, за умови неперервності
на
(або
) і того, що
достатньо близько до
. Коротко, лінеаризація обчислює наближене значення функції біля
.
Наприклад, . Однак, що буде хорошим наближенням для
?
Будь-яку функцію можна лінеаризувати якщо вона неперервна біля цікавої нам точки. Для лінеаризації
функції
в точці
виконується
. Загальною формою рівняння в околі точки
при нахилі
є:
.
Використовуючи точку ,
набуває вигляду
. Бо неперервні функції є локально лінійні, найкращим нахилом для підстановки буде нахил дотичної до
у
.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Tangent-calculus.svg/300px-Tangent-calculus.svg.png)
Візуально, на зображені показана дотична лінії для у
. В
, де
є будь-яким достатньо малим по модулю значенням,
дуже близьке до значення на дотичній в точці
.
У результаті отримуємо рівняння для лінеаризації функції в :
Приклад
ред.Щоб знайти , ми можемо використати те, що
. Лінеаризацією
в
є
, бо функція
визначає нахил функції
в
. При
, лінеаризація в 4 є
. У цьому випадку
, отже
це приблизно
. Справжнє значення близьке до 2.00024998.
Лінеаризація функції багатьох змінних
ред.Рівняння для лінеаризації функції в точці
таке:
Узагальнене рівняння для лінеаризації функції багатьох змінних у точці
таке:
де є вектором змінних і
точка в якій ми лінеаризуємо.[1]
Лінеаризація нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь
ред.Лінеаризація дає можливість розглядати нелінійну систему як лінійну в деякому обмеженому сенсі і таким чином аналізувати її поведінку в околі цікавих нам точок. Зазвичай це критичні точки, тобто такі, де Лінеаризація функції це доданок першого порядку з ряду Тейлора біля точки. Отже для системи визначеної рівнянням
,
лінеаризовану систему можна записати як
де це цікава нам точка і
це якобіан
evaluated at
.
Якщо точка критична, то рівняння набуває вигляду
Примітки
ред.- ↑ Linearisation. The Johns Hopkins University. Department of Electrical and Computer Engineering (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 7 червня 2010. Процитовано 1 червня 2014.