Ліпшицеве відображення
Ліпшицеве відображення — відображення між двома метричними просторами, застосування якого збільшує відстані не більше, ніж в деяку константу раз.
Визначення
ред.![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8d/Lipschitz_continuity.png/220px-Lipschitz_continuity.png)
Відображення метричного простору
у метричний простір
називається ліпшицевим, якщо знайдеться деяка константа
(константа Ліпшиця цього відображення), така, що
при будь-яких . Цю умову називають умовою Ліпшиця.
Відображення з (1-ліпшицеве відображення) називають також коротким відображенням.
Пов'язані визначення
ред.- Відображення, що задовольняє вищенаведеній умові, називається також
-ліпшицевим.
- Нижня грань чисел
, що задовольняють вищенаведену нерівність, називається константою Ліпшиця відображення
.
- Відображення називається локально ліпшицевим, якщо для довільної точки області визначення існує окіл в якому відображення є ліпшицевим.
- Відображення
називається біліпшицевим, якщо у нього існує обернене
і обидва
і
є ліпшицевими.
- Відображення
називається коліпшицевим, якщо існує константа
, така, що для будь-яких
і
знайдеться
таке, що
Властивості
ред.- Будь-яке відображення Ліпшиця є абсолютно неперервним.
- Всюди диференційована функція
є ліпшицевою тоді і тільки тоді коли її похідна є обмеженою. Це випливає з теореми про середнє значення.
- Теорема Радемахера стверджує, що будь-яке ліпшицеве відображення, визначене на відкритій множині в евклідовому просторі, диференційовне на ньому майже всюди.
Варіації і узагальнення
ред.- f(t,x) є Lipx(Ω), якщо для будь-яких x1, х2, х1≠х2 ||f(t,x1)-f(t,х2)|| ≤ η||(x1- х2)|| існує η(t):R+→R+, η(t)→0 R+:[t0,∞], η(t) є C[t0,∞],
||f(t,x1)-f(t,х2)||< η(t)||x1- х2|| при n=1 ||…||→|…| η(t)≤ L для будь-яких t ≥ t0
L=const Lipshits.
- Поняття ліпшицевої функції природним чином узагальнюється на функції з обмеженим модулем неперервності, оскільки умова Ліпшиця записується так:
Див. також
ред.Посилання
ред.- Juha Heinonen, Lectures on Lipschitz Analysis [Архівовано 18 квітня 2007 у Wayback Machine.]
🔥 Top keywords: Головна сторінкаЧемпіонат Європи з футболу 2024Тищенко Микола МиколайовичСпеціальна:ПошукГнатов Андрій ВікторовичСодоль Юрій ІвановичЗбірна України з футболуГринцевич Назарій АндрійовичЧемпіонат Європи з футболуРомелу ЛукакуYouTubeЧемпіонат Європи з футболу 2024 (група E)Радіо «Свобода»Чемпіонат Європи з футболу 2020УкраїнаБолівіяШевченко Андрій МиколайовичДовбик Артем ОлександровичМарк РюттеЧемпіонат світу з футболу 2026БельгіяЄрмак Андрій БорисовичЧемпіонат світу з футболу 2026 (кваліфікаційний раунд)Трубін Анатолій ВолодимировичЯрмоленко Андрій МиколайовичРебров Сергій СтаніславовичБріджертониЯремчук Роман ОлеговичЗінченко Олександр ВолодимировичДоменіко ТедескоКонституція УкраїниТериторіальний центр комплектування та соціальної підтримкиДжуліан АссанжВійськові звання УкраїниКалібр (ракета)Іонафан (Єлецьких)День Конституції УкраїниЗбірна Бельгії з футболуНаціональна суспільна телерадіокомпанія України