Перетворення Гільберта
У математиці та при обробці сигналів перетворення Гільберта — специфічний лінійний оператор, який функцію дійсної змінної відображає в іншу функцію дійсної змінної .Такий лінійний оператор визначається згорткою з функцією (див. нижче Означення).Перетворення Гільберта має особливо просте представлення в частотній області:воно визначає фазовий зсув на ( радіан) для кожного частотного компоненту функції, при цьому знак зсуву залежить від знаку частоти (див. нижче Зв'язок з перетвореннями Фур'є).Перетворення Гільберта важливе для обробки сигналів, де воно є компонентою аналітичного представлення[en]дійснозначного сигналу .Перетворення Гільберта було вперше введено Давидом Гільбертом у такій постановці при розв'язанні частинного випадку задачі Рімана—Гільберта[en] для аналітичних функцій.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/90/Hilbert_transform.svg/300px-Hilbert_transform.svg.png)
Означення
ред.Перетворення Гільберта функції можна розглядати як згортку функції
з функцією
, відомою як ядро Коші.Оскільки функція
неінтегрована в околі
, то інтеграл, який визначає згортку, не завжди є збіжним.Замість цього, перетворення Гільберта визначається з використанням головного значення інтеграла за Коші (яке позначається тут як
). У явному вигляді, перетворення Гільберта функції (чи сигналу)
визначається як
за умови, що цей інтеграл існує у сенсі головного значення.Це і є в точності згортка функції із помірним розподілом
.[1]Також, за допомогою заміни змінних, головне значення інтеграла за Коші можна записати явно як [2]
Якщо перетворення Гільберта послідовно двічі застосувати до функції , то в результаті функція
змінює знак:
за умови, що інтеграли в обох ітерації є збіжними у відповідному сенсі.Зокрема, оберненим перетворенням є .Цей факт найлегше побачити, розглянувши дію перетворення Гільберта на перетворення Фур'є функції
(див. нижче Зв'язок з перетворенням Фур'є).
Для аналітичної функції у верхній півплощині, перетворення Гільберта описує зв'язок між дійсною та уявною частинами граничних значень.Тобто, якщо функція є аналітичною у верхній півплощині комплексної площини
і
, то
з точністю до адитивної константи, за умови, що перетворення Гільберта існує.
Позначення
ред.У теорії обробки сигналів перетворення Гільберта функції зазвичай позначають як
.[3] Проте в математиці це позначення вже широко використовують для перетворення Фур'є функції
. Інколи для перетворення Гільберта використовують позначення
.[4] Крім того, багато джерел визначають перетворення Гільберта як від'ємне до одного з визначених тут.[5]
Історія
ред.Перетворення Гільберта виникло у 1905 році в роботі Гільберта про проблему Рімана щодо аналітичних функцій,[6][7] яка стала відома як задача Рімана—Гільберта[en].Робота Гільберта в основному стосується перетворення Гільберта для функцій, що визначені на колі.[8][9]Деякі з його попередніх робіт, що пов'язані з дискретним перетворенням Гільберта, базуються на лекціях, які він читав в Геттінгені. Ці результати пізніше були опубліковані у дисертації [10] Германа Вейля.Шур покращив результати Гільберта про дискретне перетворення Гільберта і розширив їх на інтегральний випадок.[11] Ці результати були послаблені для просторів та
.В 1928 році Марсель Ріс[en] довів, що перетворення Гільберта можна визначити для функції
у просторі
при
. Ріс також довів, що перетворення Гільберта єобмеженим оператором у просторі
при
, і, що аналогічні результати справедливі для перетворення Гільберта на колі, а також для дискретного перетворення Гільберта.[12]Перетворення Гільберта було мотиваційним прикладом для Антонія Зигмундата Альберта Кальдерона[en] при дослідженні синулярних інтегралів[en][13]. Ці дослідження зіграли фундаментальну роль в сучасному гармонійному аналізі.Різноманітні узагальнення перетворень Гільберта, такі як білінійне і трилінійне перетворення, і сьогодні залишаються активними областями досліджень.
Зв'язок з перетворенням Фур'є
ред.Перетворення Гільберта — це оператор множення.[14] Множником оператора є
, де
— це функція знаку.Отже,
де — перетворення Фур'є.Оскільки
, то цей результат можна використовувати для трьох загально відомих означень для перетворення Фур'є
.Згідно з формулою Ейлера
Таким чином, перетворення Гільберта має ефект зсуву фази для компонент звід'ємною частотою функції
на
(
)і для компонент з додатною частотою — на
, а
має ефект відновлення компонент з додатною частотою при зсуві компонент з від'ємною частотою додатково на
, що приводить у результаті до зміни знаку (тобто множення на
). Якщо перетворення Гільберта застосовується двічі, то фаза для компонент від'ємної та додатної частот функції
відповідно зміщуються на
та
, які є еквівалентними сумами.Сигнал змінює знак, тобто
, оскільки
Таблиця деяких перетворень Гільберта
ред.У наступній таблиці, параметр частоти — є дійсним.
Сигнал | Перетворення Гільберта [fn 1] |
---|---|
Функція sinc | |
Дельта-функція Дірака | |
Характеристична функція |
Примітки
- ↑ Деякі автори (наприклад, Брейсвелл) використовують оператор
, як означення прямого перетворення. Звідси випливає, що у правому стовпчик цієї таблиці необхідно змінити знак.
- ↑ а б Перетворення Гільберта для функцій синуса та косинуса можна визначити, взявши головне значення інтеграла на нескінченності. Таке означення узгоджується з дистрибутивністю означення перетворення Гільберта.
Доступна [15] достатньо велика таблиця перетворень Гільберта.Зауважимо, що перетворення Гільберта для константи дорівнює нулю
Область визначення
ред.Зовсім не очевидно, що перетворення Гільберта взагалі є добре визначеним, оскільки відповідний невласний інтеграл має збігатися у відповідному сенсі.Проте перетворення Гільберта добре визначене для широкого класу функцій, а саме у просторі ,
.
Точніше, якщо функція з простору
,
, тоді границя,що визначає цей невласний інтеграл
існує для майже всіх .Границя функції також існує в просторі
і фактично є границею в середньому для невласного інтеграла.А саме
у нормі при
. Збіжність є поточковою майже всюди за теоремою Тітчмарша.[16]
У випадку перетворення Гільберта все ще збігається поточково майже всюди, але саме по собі може бути неінтегровним, навіть локально.[17] Зокрема, збіжність у середньому, у цьому випадку загалом негарантоване.Перетворення Гільберта для функції з
є збіжним, але
— у слабкому сенсі, і перетворення Гільберта є обмеженим оператором з простору
у простір
.[18] (Зокрема, оскільки перетворення Гільберта також є оператором множення в просторі
, то інтерполяційна теорема Марцинкевича та аргумент дуальності надають альтернативне доведення того, що оператор
є обмеженим у просторі
.)
Властивості
ред.Обмеженість
ред.Якщо , то перетворення Гільберта в просторі
є обмеженим лінійним оператором, тобто існує константа
така, що
для всіх .[19]Найкраще константа
[19] визначається як [20]
Найпростіший спосіб знаходження найкращої константи для
, яке є степенем
, через так звану рівність Котлара
для всіх дійснозначних функцій .Ті самі найкращі константи мають місце для періодичного перетворення Гільберта.
З обмеженості перетворення Гільберта випливає збіжність симетричного оператора частинної суми
для функції з простору
.[21]
Антисамоспряженість
ред.Перетворення Гільберта є антисамоспряженим[en] оператором відносно дуального утворення пар між простором та дуальним простором
, де
та
— спряжені за Гельдером і
,
. У символьній формі
для та
.[22]
Обернене перетворення
ред.Перетворення Гільберта є антиінволюцією[23], тобто
за умови, що кожне перетворення є добре визначеним.Оскільки оператор зберігає простір
, то перетворення Гільберта є оборотне в просторі
і
Структура над комплексною площиною
ред.Оскільки (
— тотожний оператор у дійсному банаховому просторі дійснозначних функцій у просторі
, то перетворення Гільберта визначає лінійну комплексну структуру[en] в банаховому просторі. Зокрема, при
перетворення Гільберта надає гільбертовому простору дійснозначних функцій в просторі
структуру \emph{комплексного} гільбертового простору.
Квантові стани (зокрема, комплексні) перетворення Гільберта допускають за теоремою Пелі—Вінера[en] представлення у вигляді голоморфних функцій у верхній та в нижній півплощинаху просторі Гарді [en].
Згортки
ред.Перетворення Гільберта можна формально реалізувати якзгортку з узагальненою функцією повільного росту[24]
Таким чином, формально можна записати
Однак, апріорі можна визначити лише для узагальненої функції з компактним носієм. З цим можна працювати дещо строгіше, оскільки функції з компактними носіями(які очевидно є узагальненими) є щільними в просторі
. Як альтернативу можна використати той факт, що
є узагальненою похідною від функції
, а саме
Для більшості обчислювальних задач Перетворення Гільберта можна розглядати як згортку.Наприклад, у формальному сенсі перетворення Гільберта згортки — це згортка перетворення Гільберта, що застосована лише до одного з множників:
Це строго коректно, якщо і
— це узагальнені функції з компактними носіями, оскільки в цьому випадку
Таким чином, переходячи до відповідної границі, з теореми Тічмарша [25] випливає також коректність для і
за умови, що
Інваріантність
ред.У просторі перетворення Гільберта має наступні інваріантні властивості:
- Воно комутує зі зсувами, тобто з операторами
для всіх
.
- Воно комутує з додатніми розтягами, тобто з операторами
для всіх
.
- Воно антикомутує з віддзеркаленням
. Таким чином, з точністю до мультиплікативної константи перетворення Гільберта — це єдиний обмежений оператор у просторі
, який володіє вищезгаданими властивостями.[26] Насправді існує ширша множина операторів, що комутують з перетворенням Гільберта. Група
дія якої у просторі
за допомогою унітарних операторів
визначається формулою
Унітарне представлення[en] — це прикладголовного представлення ряду[en] групи . У цьому випадку унітарне представлення є звідним, розщепленим як ортогональна сума два інваріантних підпросторів: простору Гарді
і його дуального простору. Це простори
граничних значень голоморфних функцій на верхній та нижній півплощинах. Простір
і його дуальний простір у точності складаються з функцій простору
, що зануляються перетвореннями Фур'є відповідно на від'ємній та додатній частинах дійсної осі. Оскільки перетворення Гільберта дорівнює оператору
, де
— це ортогональна проєкція з простору
у простір
,
— тотожний оператор, то з цього випливає, що простір
і його ортогональний простір є власними просторами оператора
для власних значень
.Іншими словами оператор
комутує з унітарним оператором
. Обмеження операторів
на простір
і його дуальний простір визначає незвідні представлення групи
— так названа границя представлень дискретних рядів[en][27].
Розширення області визначення
ред.Перетворення Гільберта для узагальнених функцій
ред.Перетворення Гільберта можна узагальнити на деякі просториузагальнених функцій (Pandey, 1996, Chapter 3).Оскільки перетворення Гільберта комутує з диференціюванням і є обмеженим оператором на просторі , то оператор
звужується і отримуємо неперервне перетворення напроєктивній границіпросторів Соболєва:
Перетворення Гільберта можна визначити в дуальному просторі простору , позначається як
і складається з
узагальнених функцій.Це досягається за допомогою двоїстості:для всіх
перетворення Гільберта визначається як
Перетворення Гільберта можна визначити на просторіузагальнених функцій повільного росту за допомогою підходу Гельфанда і Шилова,[28] але необхідно значно більше уваги через сингулярність інтегралу.
Перетворення Гільберта для обмежених функцій
ред.Перетворення Гільберта можна також визначити для функцій з простору , але це потребує деяких модифікацій та застережень. При правильному розумінні перетворення Гільберта відображає простір
убанаховий простіркласів функцій з обмеженими середніми коливаннями[en]. При наївній інтерпретації перетворення Гільберта для обмежених функцій очевидно погано визначене.Наприклад, для функції
інтеграл, що визначає перетворення Гільберта
є розбіжним майже всюди до
. Щоб уникнути таких складнощів, перетворення Гільберта для функцій з простору
визначається наступною регуляризованою інтегральною формулою
де як і вище і
Модифіковане перетворення Гільберта узгоджується з оригінальним перетворенням Гільберта для функції з компактним носієм виходячи із загального результату Кальдерона і Зигмунда [29].Більше того, розглядуваний інтеграл збігається поточково і майже всюди (відносно норми для функцій з обмеженими середніми коливаннями) до функції з обмеженими середніми коливаннями. Глибокий результат[en] роботи Вефермана [30] полягає в тому, що функція є функцією з обмеженими середніми коливаннями тоді й лише тоді, коли вона має вигляд для деяких
Спряжені функції
ред.Перетворення Гільберта можна зрозуміти в термінах пари функцій і
таких, що функція
є розв'язком крайової задачіголоморфної функції у верхній півплощині.[31] За цих умов, якщо функції
і
є достатньо інтегровані, тоді одна є перетворенням Гільберта іншої. Нехай
, тоді згідно теорії інтеграла Пуассона, функція
допускає єдине гармонічне продовження у верхній півплощині, і це продовження визначається як
тобто згорткою функції зядром Пуассона
Більше того, це єдина гармонічна функція визначена у верхній півплощині така, що
є голоморфною і
Гармонічна функція отримується з функції за допомогою згортки зі спряженим ядром Пуассона
Отже,
Справді, дійсна та уявна частини ядра Коші мають вигляд
Таким чином, є голоморфною заінтегральною формулою Коші. Функція
одержана з функції
таким чином, називається гармонічно спряженою[en] до функції
. (Недотична) границя на межі для функції
при
є перетворенням Гільберта функції
.Таким чином,
Теорема Тітчмарша
ред.Теорема Тітчмарша (названа на честь Е.Ч. Тітчмарша[en], який включив її у свою роботу 1937 року) уточнює зв'язок між граничними значеннями голоморфних функцій у верхній півплощині та перетворенням Гільберта.[32]Теорема дає необхідні та достатні умови, щоб комплекснозначна квадратично інтегрована[en] функція на дійсній прямій була граничним значенням функції в просторі Гарді
голоморфних функцій у верхній півплощині
.Теорема стверджує, що наступні умови для комплекснозначної квадратично інтегрованої функції
еквівалентні:
- Функція
є границею при
голоморфної функції
у верхній півплощині такої, що
- Дійсна і уявна частини функції
є перетвореннями Гільберта одна одної.
- Перетворення Фур'є
дорівнює нулю при
.
Більш слабший результат справедливий для функцій з класу Простір Lp при [33]. Зокрема, якщо
голоморфна функція така, що
для всіх , то існує комплекснозначна функція
з простору
така, що
в нормі простору
при
(а також збігається поточково майже скрізь. Крім того,
де — це дійснозначна функція в просторі
і
— перетворення Гільберта функції
(із класу
). Це не вірно у випадку
. Фактично, перетворення Гільберта функції
з простору
необов'язково збігається в середньому до іншої функції з простору
.Тим не менш,[34] перетворення Гільберта функції
збігається майже всюди до скінченної функції
такої, що
Цей результат прямо аналогічний результату Андрія Колмогорова для функцій Гарді на диску.[35] Хоча цей результат зазвичай називають теоремою Тітчмарша, але він об'єднує багато інших робіт, включаючи роботи Гарді, Пелі і Вінера (див. теорему Пелі—Вінера[en], а також роботи Ріса, Хілле і Тамаркіна.[36]
Задача Рімана—Гільберта
ред.Одне з формулювань задачі Рімана—Гільберта спрямована на знаходження пар функцій та
таких, що
є голоморфною у верхній півплощині, а
є голоморфною в нижній півплощині, таких, що для значень
вздовж дійсної осі має місце співвідношення
де — деяка задана дійснозначна функція при
. Ліву частину цього співвідношення можна розуміти або як різницю границь функцій
з відповідних півплощин, або як гіперфункції[en] розподілу. Дві функції такого вигляду — розв'язки задачі Рімана — Гільберта. Формально, якщо
є розв'язками задачі Рімана—Гільберта
то перетворення Гільберта функції визначається як [37]
Перетворення Гільберта на колі
ред.Див. також: Простір ГардіДля періодичної функції визначено кругове перетворення Гільберта:
Кругове перетворення Гільберта використовується для характеристики простору Гарді та для дослідженні спряженої функції в рядах Фур'є.Ядро
відоме як ядро Гільберта, оскільки саме у такому вигляді спочатку досліджувалося перетворення Гільберта.[8]Ядро Гільберта (для кругового перетворення Гільберта) можна отримати, зробивши ядро Коші періодичним.Точніше, для
Багато результатів про кругове перетворення Гільберта можна отримати завдяки цьому співвідношенню з відповідних результатів для перетворення Гільберта. Інший більш прямий зв'язок забезпечується за допомогою перетворення Келі , яке переводить дійсну пряму у коло, а верхню півплощину — у одиничний диск. Перетворення Келі породжується унітарним відображенням
з в
.Оператор переводить простір Гарді
в простір Гарді
.[38]
Перетворення Гільберта при обробці сигналів
ред.Теорема Бедросяна
ред.Теорема Бедросяна стверджує, що перетворення Гільберта добутку низькочастотного і високочастотного сигналу зі спектрами, що не перекриваються, задається добутком низькочастотного сигналу і перетворення Гільберта високочастотного сигналу або
де і
— відповідно низько та високочастотні сигнали.[39]Категорія сигналів зв'язку, до якої це відноситься, називається вузькосмуговою моделлю сигналу. Членом цієї категорії є амплітудна модуляція високочастотної синусоїдального носія
де — вузькосмуговий сигнал повідомлення, наприклад, голос або музика.Тоді за теоремою Бедросяна[40]
Аналітичне представлення
ред.Основна стаття: Аналітичний сигнал[en]Специфічним типомспряженої функції є
відомий як аналітичне представлення функції .Назва відображає його математичну придатність, здебільшого завдякиформулі Ейлера. Застосовуючи теорему Бедросяна до вузькосмугової моделі, аналітичне представлення набуває вигляду[41]
|
| ( ) |
Властивість перетворення Фур'є вказує, що ця складна гетеродина операція може зсунути всі від'ємні частотні компоненти вище
Гц.У цьому випадку уявна частина результату є перетворенням Гільберта дійсної частини.Це непрямий спосіб отримання перетворення Гільберта.
Кутова (фазова/частотна) модуляція
ред.Форма[41]
називається кутовою модуляцією, який включає як фазову модуляціяю так і частотну модуляцію. Миттєва частота[en] дорівнює . Для досить великих
порівняно з
:
і
Односмугова модуляція
ред.Основна стаття: Односмугова модуляціяЯкщо в рівнянні Eq.1 є також аналітичним представленням (форма сигналу повідомлення), тобто
то результатОдносмуговою модуляцією:
передана компонента якої дорівнює[42][43]
Казуальність
ред.Функція представляє дві проблеми до практичної реалізації у вигляді згортки
- Її тривалість нескінченна (технічно нескінчений носій). Замість цього необхідно використовувати наближення скінченної довжини.
Але віконна довжина також зменшує ефективний частотний діапазон перетворення. Чим менше вікно, тим більші втрати на низьких і високих частотах.Див. такожквадратурний фільтр[en].
- Це некаузальний фільтр[en]. Отже, необхідна версія із запізненням,
. Відповідний вихід згодом затримується на
. При створенні уявної частини аналітичного сигналу[en], джерело (дійсна частина) має мати запізнення на еквівалентну величину.
Дискретне перетворення Гільберта
ред.Для дискретної функції з дискретним за часом перетворенням Фур'є[en] (DTFT),
, і дискретне перетворення Гільберта
, DTFT функції
в області
визначається як
Обернене DTFT, використовуючи теорему про згортки[en], має вигляд:[44]
де
...
Див. також
ред.Примітки
ред.- ↑ due to Schwartz, 1950; see Pandey, 1996, Chapter 3.
- ↑ Zygmund, 1968, §XVI.1
- ↑ e.g., Brandwood, 2003, p. 87
- ↑ e.g., Stein та Weiss, 1971
- ↑ e.g., Bracewell, 2000, p. 359
- ↑ Kress, 1989.
- ↑ Bitsadze, 2001.
- ↑ а б Khvedelidze, 2001.
- ↑ Hilbert, 1953.
- ↑ Hardy, Littlewood та Pólya, 1952, §9.1.
- ↑ Hardy, Littlewood та Pólya, 1952, §9.2.
- ↑ Riesz, 1928.
- ↑ Calderón та Zygmund, 1952.
- ↑ Duoandikoetxea, 2000, Chapter 3.
- ↑ King, 2009b.
- ↑ Titchmarsh, 1948, Chapter 5.
- ↑ Titchmarsh, 1948, §5.14.
- ↑ Stein та Weiss, 1971, Lemma V.2.8.
- ↑ а б This theorem is due to Riesz, 1928, VII; see also Titchmarsh, 1948, Theorem 101.
- ↑ This result is due to Pichorides, 1972; see also Grafakos, 2004, Remark 4.1.8.
- ↑ Дивись, наприклад Duoandikoetxea, 2000, с. 59.
- ↑ Titchmarsh, 1948, Theorem 102.
- ↑ Titchmarsh, 1948, с. 120.
- ↑ Duistermaat та Kolk, 2010, с. 211.
- ↑ Titchmarsh, 1948, Theorem 104.
- ↑ Stein, 1970, §III.1.
- ↑ See Bargmann, 1947, Lang, 1985, and Sugiura, 1990.
- ↑ Gel'fand та Shilov, 1968.
- ↑ Calderón та Zygmund, 1952; see Fefferman, 1971.
- ↑ Fefferman, 1971; Fefferman та Stein, 1972
- ↑ Titchmarsh, 1948, Chapter V.
- ↑ Titchmarsh, 1948, Theorem 95.
- ↑ Titchmarsh, 1948, Theorem 103.
- ↑ Titchmarsh, 1948, Theorem 105.
- ↑ Duren, 1970, Theorem 4.2.
- ↑ see King, 2009a, § 4.22.
- ↑ Pandey, 1996, Chapter 2.
- ↑ Rosenblum та Rovnyak, 1997, с. 92.
- ↑ Schreier та Scharf, 2010, 14.
- ↑ Bedrosian, 1962.
- ↑ а б Osgood, с. 320
- ↑ Franks, 1969, с. 88
- ↑ Tretter, 1995, с. 80 (7.9)
- ↑ Rabiner, 1975
Література
ред.- Bracewell, R. (1986). The Fourier Transform and Its Applications, 2nd ed, McGraw-Hill.
![]() | Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |
Ця стаття потребує додаткових посилань на джерела для поліпшення її перевірності. (жовтень 2017) |