Порядок елемента
Порядок елемента в теорії груп — найменше додатне ціле , таке що -разове групове множення даного елемента на себе дає нейтральний елемент:
- .
Іншими словами, — кількість різних елементів циклічної підгрупи, породженої даним елементом. Якщо такого не існує (або, еквівалентно, число елементів циклічної підгрупи нескінченне), то кажуть, що має нескінечний порядок. Позначається як або .
Вивчення порядків елементів групи може дати інформацію про її структуру. Декілька глибоких питань щодо зв'язку порядку елементів і порядку групи містяться в різних задачах Бернсайда, деякі з них залишаються відкритими.
Основні властивості
ред.Порядок елемента дорівнює одиниці тоді й лише тоді, коли елемент є нейтральним.
Якщо будь-який не нейтральний елемент у збігається зі своїм оберненим (тобто
), то
і
є абелевою групою, оскільки
. Обернене твердження в загальному випадку хибне: наприклад, (адитивна) циклічна група
цілих чисел за модулем 6 — абелева, але число 2 має порядок 3:
.
Для будь-якого цілого тотожність
виконана тоді й лише тоді, коли
ділить
.
Усі степені елемента нескінченного порядку мають нескінченний порядок. Якщо має скінченний порядок, то порядок
дорівнює порядку
, поділеному на найбільший спільний дільник чисел
і
. Порядок оберненого елемента збігається з порядком елемента (
).
Зв'язок із порядком групи
ред.Порядок будь-якого елемента групи ділить порядок групи. Наприклад, у симетричній групі , що складається з шести елементів, нейтральний елемент
має (за визначенням) порядок 1, три елементи, що є коренями з
— порядок 2, а порядок 3 мають два елементи, що залишилися, які є коренями елементів порядку 2: тобто, всі порядки елементів є дільниками порядку групи.
Частково обернене твердження правильне для скінченних груп (теоретико-групова теорема Коші): якщо просте число ділить порядок групи
, то існує елемент
, для якого
. Твердження не виконується для складених порядків, так що 4-група Кляйна не містить елемента порядку чотири.
Порядок добутку
ред.У будь-якій групі .
Немає загальної формули, що пов'язує порядок добутку з порядками співмножників
і
. Можливий випадок, коли і
, і
мають скінченні порядки, а порядок добутку
нескінченний, також можливо, що і
, і
мають нескінченний порядок, тоді як
— скінченний. Приклад першого випадку: в симетричній групі над цілими числами перестановки, що задаються формулами
тоді
. Приклад другого випадку: перестановки в тій самій групі
, добуток яких є нейтральним елементом (перестановка
, що залишає елементи на своїх місцях). Якщо
то можна стверджувати, що
ділить найменше спільне кратне чисел
і
. Як наслідок, у скінченій абелевій групі порядок будь-якого елемента ділить максимальний порядок елементів групи.
Підрахунок за порядком елементів
ред.Для даної скінченної групи порядку
, кількість елементів із порядком
(
— дільник
) кратна
, де
— функція Ейлера, що дає число додатних чисел, які не перевищують
та взаємно прості з ним. Наприклад, у випадку
, і є рівно два елементи порядку 3; при цьому дане твердження не дає жодної корисної інформації щодо елементів порядку 2, оскільки
, і дуже обмежену інформацію про складені числа, такі як
, оскільки
, і в групі
є нуль елементів порядку 6.
Зв'язок із гомоморфізмами
ред.Гомоморфізми груп мають властивість знижувати порядок елементів. Якщо є гомоморфізмом, та
— елемент скінченного порядку, то
ділить
. Якщо
ін'єктивне, то
. Цей факт можна використати для доведення відсутності (ін'єктивного) гомоморфізму між двома заданими групами. (Наприклад, немає нетривіального гомоморфізму
, оскільки будь-яке число, за винятком нуля, в
має порядок 5, а 5 не ділить жодного з порядків 1, 2 та 3 елементів
.) Іншим наслідком є твердження, що спряжені елементи мають однаковий порядок.
Література
ред.- (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф. : Голіней, 2023. — 153 с.
- Курош А.Г. Теория групп. — Москва : Наука, 1967. — ISBN 5-8114-0616-9.
- Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А. Глава II. Группы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М. : Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — (Справочная математическая библиотека) — 30000 прим. — ISBN ISBN 5-02-014426-6.