Простір станів — у теорії керування один з основних методів опису поведінки динамічної системи. Рух системи в просторі станів відбиває зміну її станів.
Простір станів зазвичай називають фазовим простором динамічної системи , а траєкторію руху, що зображає точки в цьому просторі — фазовою траєкторією. [B: 1] [B: 2] [A: 1]
У просторі станів створюється модель динамічної системи , що включає набір змінних входу, виходу і стану, пов'язаних між собою диференціальними рівняннями першого порядку, які записуються в матричній формі. На відміну від опису у вигляді передавальної функції та інших методів частотної області, простір станів дозволяє працювати не тільки з лінійними системами і нульовими початковими умовами. Крім того, в просторі станів відносно просто працювати з MIMO -системами.
Лінійні неперервні системи ред. Структурна схема неперервної лінійної системи, описаної у вигляді змінних стану Для випадку лінійної системи з p {\displaystyle p} входами, q {\displaystyle q} виходами і n {\displaystyle n} змінними стану опис має вигляд:
x ˙ ( t ) = A ( t ) x ( t ) + B ( t ) u ( t ) {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)} y ( t ) = C ( t ) x ( t ) + D ( t ) u ( t ) {\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t)} де
x ( t ) ∈ R n {\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{n}} ; y ( t ) ∈ R q {\displaystyle y(t)\in \mathbb {R} ^{q}} ; u ( t ) ∈ R p {\displaystyle u(t)\in \mathbb {R} ^{p}} ; dim [ A ( ⋅ ) ] = n × n {\displaystyle \operatorname {dim} [A(\cdot )]=n\times n} , dim [ B ( ⋅ ) ] = n × p {\displaystyle \operatorname {dim} [B(\cdot )]=n\times p} , dim [ C ( ⋅ ) ] = q × n {\displaystyle \operatorname {dim} [C(\cdot )]=q\times n} , dim [ D ( ⋅ ) ] = q × p {\displaystyle \operatorname {dim} [D(\cdot )]=q\times p} , x ˙ ( t ) := d x ( t ) d t {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t):={d\mathbf {x} (t) \over dt}} : x ( ⋅ ) {\displaystyle x(\cdot )} — вектор стану, елементи якого називають станами системи y ( ⋅ ) {\displaystyle y(\cdot )} — вектор виходу, u ( ⋅ ) {\displaystyle u(\cdot )} — вектор керування, A ( ⋅ ) {\displaystyle A(\cdot )} — матриця системи, B ( ⋅ ) {\displaystyle B(\cdot )} — матриця керування, C ( ⋅ ) {\displaystyle C(\cdot )} — матриця виходу, D ( ⋅ ) {\displaystyle D(\cdot )} — матриця прямого зв'язку.Часто матриця D ( ⋅ ) {\displaystyle D(\cdot )} є нульовою, це означає, що в системі немає явного прямого зв'язку .
Для дискретних систем запис рівнянь у просторі ґрунтується не на диференціальних , а на різницевих рівняннях:
x ( n T + T ) = A ( n T ) x ( n T ) + B ( n T ) u ( n T ) {\displaystyle \mathbf {x} (nT+T)=A(nT)\mathbf {x} (nT)+B(nT)\mathbf {u} (nT)} y ( n T ) = C ( n T ) x ( n T ) + D ( n T ) u ( n T ) {\displaystyle \mathbf {y} (nT)=C(nT)\mathbf {x} (nT)+D(nT)\mathbf {u} (nT)} Нелінійну динамічну систему n-го порядку можна описати у вигляді системи з n рівнянь 1-го порядку:
x ˙ 1 = f 1 ( x 1 ( t ) ; … , x n ( t ) , u 1 ( t ) , … , u m ( t ) ) {\displaystyle {\dot {x}}_{1}=f_{1}(x_{1}(t);\ldots ,x_{n}(t),u_{1}(t),\ldots ,u_{m}(t))} ⋮ {\displaystyle \vdots } x ˙ n = f n ( x 1 ( t ) ; … , x n ( t ) , u 1 ( t ) , … , u m ( t ) ) {\displaystyle {\dot {x}}_{n}=f_{n}(x_{1}(t);\ldots ,x_{n}(t),u_{1}(t),\ldots ,u_{m}(t))} або в компактнішій формі:
x ˙ ( t ) = f ( t , x ( t ) , u ( t ) ) {\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t))} y ( t ) = h ( t , x ( t ) , u ( t ) ) {\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {h} (t,\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t))} .Перше рівняння — це рівняння стану, друге — рівняння виходу.
У деяких випадках можлива лінеаризація опису динамічної системи для околу робочої точки ( x ~ , u ~ ) {\displaystyle (\mathbf {\tilde {x}} ,\mathbf {\tilde {u}} )} . У сталому режимі ( u ~ = c o n s t ) {\displaystyle (\mathbf {\tilde {u}} =const)} для робочої точки x ~ = c o n s t , {\displaystyle \mathbf {\tilde {x}} =const,} справедливий такий вираз:
x ˙ = f ( x ~ , u ~ ) = 0 {\displaystyle \mathbf {\dot {x}} =\mathbf {f} (\mathbf {\tilde {x}} ,\mathbf {\tilde {u}} )=\mathbf {0} } Вводячи позначення:
δ u = u − u ~ {\displaystyle \delta \mathbf {u} =\mathbf {u} -\mathbf {\tilde {u}} } δ x = x − x ~ {\displaystyle \delta \mathbf {x} =\mathbf {x} -\mathbf {\tilde {x}} } Розклад рівняння стану f ( x ( t ) , u ( t ) ) {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t))} в ряд Тейлора , обмежений першими двома членами дає такий вираз:
f ( x ( t ) , u ( t ) ) ≈ f ( x ~ ( t ) , u ~ ( t ) ) + δ f δ x δ x + δ f δ u δ u {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t))\approx \mathbf {f} (\mathbf {\tilde {x}} (t),\mathbf {\tilde {u}} (t))+{\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {x} }}\delta \mathbf {x} +{\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {u} }}\delta \mathbf {u} } При взятті часткових похідних вектор-функції f {\displaystyle \mathbf {f} } за вектором змінних станів x {\displaystyle \mathbf {x} } і вектором вхідних впливів u {\displaystyle \mathbf {u} } виходять матриці Якобі відповідних систем функцій:
δ f δ x = [ δ f 1 δ x 1 ⋯ δ f 1 δ x n ⋮ ⋱ ⋮ δ f n δ x 1 ⋯ δ f n δ x n ] δ f δ u = [ δ f 1 δ u 1 ⋯ δ f 1 δ u p ⋮ ⋱ ⋮ δ f n δ u 1 ⋯ δ f n δ u p ] {\displaystyle {\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {x} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\delta \mathbf {x_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\delta \mathbf {x_{n}} }}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\delta \mathbf {f_{n}} }{\delta \mathbf {x_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{n}} }{\delta \mathbf {x_{n}} }}\end{bmatrix}}\quad {\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {u} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\delta \mathbf {u_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\delta \mathbf {u_{p}} }}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\delta \mathbf {f_{n}} }{\delta \mathbf {u_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{n}} }{\delta \mathbf {u_{p}} }}\end{bmatrix}}} .Аналогічно для функції виходу:
δ h δ x = [ δ h 1 δ x 1 ⋯ δ h 1 δ x n ⋮ ⋱ ⋮ δ h q δ x 1 ⋯ δ h q δ x n ] δ h δ u = [ δ h 1 δ u 1 ⋯ δ h 1 δ u p ⋮ ⋱ ⋮ δ h q δ u 1 ⋯ δ h q δ u p ] {\displaystyle {\frac {\delta \mathbf {h} }{\delta \mathbf {x} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\delta \mathbf {x_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\delta \mathbf {x_{n}} }}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\delta \mathbf {h_{q}} }{\delta \mathbf {x_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{q}} }{\delta \mathbf {x_{n}} }}\end{bmatrix}}\quad {\frac {\delta \mathbf {h} }{\delta \mathbf {u} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\delta \mathbf {u_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\delta \mathbf {u_{p}} }}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\delta \mathbf {h_{q}} }{\delta \mathbf {u_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{q}} }{\delta \mathbf {u_{p}} }}\end{bmatrix}}} З огляду на δ x ˙ = x ˙ − x ~ ˙ = x ˙ {\displaystyle \delta \mathbf {\dot {x}} =\mathbf {\dot {x}} -\mathbf {\dot {\tilde {x}}} =\mathbf {\dot {x}} } , лінеаризований опис динамічної системи в околі робочої точки набуде вигляду: де
A = δ f δ x B = δ f δ u C = δ h δ x D = δ h δ u {\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {x} }}\quad \mathbf {B} ={\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {u} }}\quad \mathbf {C} ={\frac {\delta \mathbf {h} }{\delta \mathbf {x} }}\quad \mathbf {D} ={\frac {\delta \mathbf {h} }{\delta \mathbf {u} }}} .↑ Андронов А. А. , Леонтович Е. А. , Гордон И. М. , Майер А. Г. . Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. — М . : Наука, 1967.↑ Андронов А. А. , Витт А. А. , Хайкин С. Э. Теория колебаний. — 2-е изд., перераб. и испр.. — М . : Наука, 1981. — 918 с.