Теорія категорій
Теорія категорій — розділ математики, що вивчає властивості відношень між математичними структурами, незалежно від внутрішньої будови структур; абстрагується від множин та функцій до діаграм, де об'єкти сполучені морфізмами (стрілками).
Теорія категорій посідає центральне місце в сучасній математиці[1], а також має застосування в інформатиці[2] та теоретичній фізиці[3][4].Сучасне викладання алгебричної геометрії та гомологічної алгебри основане на теорії категорії. Поняття теорії категорій використане в мові функційного програмування Haskell.
Історія
ред.Поняття категорія було введено в 1945 році. Своїм походженням теорія категорій завдячує алгебраїчній топології. Подальші дослідження виявили об'єднувальну та уніфікувальну роль поняття категорія і пов'язаного з ним поняття функтора для багатьох розділів математики.
Теоретико-категорний аналіз основ теорії гомології привів до виділення у середині 50-х рр. 20 ст. так званих абелевих категорій, в рамках яких виявилося можливим здійснити основні побудови гомологічної алгебри. У 60-і рр. 20 ст. позначилася дедалі більша цікавість до неабелевих категорій, спонуканий задачами логіки, загальної алгебри, топології і алгебраїчної геометрії. Інтенсивний розвиток універсальної алгебри і аксіоматична побудова теорії гомотопій поклали початок різним напрямам досліджень: категорному дослідженню многовидів універсальної алгебри, теорії ізоморфізмів прямих розкладів, теорії зв'язаних функторів і теорії двоїстості функторів. Подальший розвиток виявив істотний взаємозв'язок між цими дослідженнями. Завдяки виникненню теорії відносних категорій, що широко використовує техніку зв'язаних функторів і замкнутих категорій, була встановлена двоїстість між теорією гомотопій і теорією універсальних алгебр, заснована на інтерпретації категорних визначень моноїда і комоноїда у відповідних функторів. Інший спосіб введення додаткових структур в категоріях пов'язаний із заданням в категоріях топології і побудові категорії пучків над топологічною категорією (так зв. топоси).
Визначення
ред.Категорія
ред.Категорія складається з класу
, елементи якого називаються об'єктами категорії, та класу
, елементи якого називаються морфізмами категорії. Ці класи повинні задовольняти наступним умовам:
- Кожній впорядкованій парі об'єктів А, В зіставлено клас
; якщо
, то А називається початком, або областю визначення морфізму f, а В — кінець, або область значень f.
- Кожен морфізм категорії належить одному і лише одному класу
.
- У класі
заданий частковий закон множення: добуток морфізмів
та
визначено тоді і тільки тоді, коли В=С, він позначається
і належить класу
.
- Справедливий закон асоціативності:
для будь-яких морфізмів, для яких дані добутки визначені.
- У кожному класі
визначений такий морфізм
, що
для
; морфізми
називаються одиничними, тотожними, або одиницями.
- Замітка: клас об'єктів звичайно не є множиною в сенсі аксіоматичної теорії множин. Категорія, в якій об'єкти складають множину, називається малою. Крім того, у принципі можливо (з невеликим виправленням визначення) розглядати категорії, в яких морфізми між будь-якими двома об'єктами також утворюють клас, або навіть велику структуру[5].
Приклади категорій
ред.- Set — категорія множин. Об'єктами є множини, морфізмами — відображення множин, а множення збігається з послідовним виконанням відображень.
- Top — категорія топологічних просторів. Об'єктами є топологічні простори, морфізмами — всі неперервні відображення топологічних просторів, а множення знову збігається з послідовним виконанням відображень.
- Group — категорія груп. Об'єктами є групи, морфізмами — всі гомоморфізми груп, а множення збігається з послідовним виконанням гомоморфізмів. За аналогією можна ввести категорію кілець і т. д.
- VectK — категорія векторних просторів над полем K. Морфізми — лінійні відображення векторних просторів.
- Rel — категорія бінарних відношень множини; клас об'єктів цієї категорії збігається з класом об'єктів Set, а морфізмами множини А в множину В є бінарні відношення цих множин, тобто всілякі підмножини декартового добутку А×В; множення збігається з множенням бінарних відношень.
- Моноїд є категорією з одним об'єктом, навпаки, кожна категорія, що складається з одного об'єкта, є моноїдом.
- Для будь-якої частково впорядкованої множини можна побудувати малу категорію, об'єктами якої є елементи множини, причому між елементами x і y існує єдиний морфізм тоді і тільки тоді, коли x≤y (зрозуміло, слід відрізняти цю категорію від категорії частково впорядкованих множин).
Всі перераховані вище категорії допускають ізоморфне вкладення в категорію множин. Категорії з такою властивістю називаються конкретними. Не всяка категорія є конкретною, наприклад, категорія, об'єктами якої є всі топологічні простори, а морфізмами — класи гомотопних відображень.
Комутативні діаграми
ред.![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/Commutative_diagram_for_morphism.svg/150px-Commutative_diagram_for_morphism.svg.png)
Стандартним способом опису тверджень теорії категорій є комутативні діаграми. Комутативна діаграма — це орієнтований граф, у вершинах якого знаходяться об'єкти, а стрілками є морфізми або функтори, причому результат композиції стрілок не залежить від вибраного шляху. Наприклад, аксіоми теорії категорій можна записати за допомогою діаграм:
Двоїстість
ред.Для категорії можна визначити двоїсту категорію
, у якій:
- об'єкти збігаються з об'єктами початкової категорії;
- морфізми одержуються «обертанням стрілок»:
Взагалі, для будь-якого твердження теорії категорій можна сформулювати подвійне твердження за допомогою звернення стрілок. Часто подвійне явище позначається тим же терміном з приставкою ко- (див. приклади далі).
Справедливий принцип двоїстості: твердження р істинно в теорії категорій тоді і тільки тоді, коли в цій теорії істинно двоїсте твердження р*. Багато понять і результатів в математиці виявилися двоїстими один одному з точки зору понять теорії категорій: ін'єктивність і сюр'єктивність, многовиди і радикали в алгебрі і т. д.
Морфізми
ред.- Морфізм
називається ізоморфізмом, якщо існує такий морфізм
, що
та
. Два об'єкти, між якими існує ізоморфізм, називаються ізоморфними. Зокрема, тотожний морфізм є ізоморфізмом, тому будь-який об'єкт ізоморфний сам собі.
- Морфізми, в яких початок і кінець збігаються, називають ендоморфізмами. Множина ендоморфізмів
є моноїдом щодо операції композиції з одиничним елементом
.
- Ендоморфізми, які одночасно є ізоморфізмами, називаються автоморфізмами. Автоморфізми будь-якого об'єкта утворюють групу автоморфізмів
по композиції.
- Мономорфізм — це морфізм
такий, що для будь-яких
з
випливає, що
.
Композиція мономорфізмів є мономорфізмом.
- Епіморфізм — це такий морфізм, що для будь-яких
з
слідує
.
- Біморфізм — це морфізм, що є одночасно мономорфізмом і епіморфізмом. Будь-який ізоморфізм є біморфізмом, зворотне, взагалі кажучи, вірно не для всіх категорій.
Мономорфізм, епіморфізм і біморфізм є узагальненнями понять ін'єктивного, сюр'єктивного і бієктивного відображення відповідно.
Універсальні об'єкти
ред.Початковий (універсально відштовхуючий) об'єкт категорії — це такий об'єкт, з якого існує єдиний морфізм в будь-який інший об'єкт.
Якщо початкові об'єкти в категорії існують, то всі вони ізоморфні.
Двоїстим чином визначається термінальний (універсально притягуючий) об'єкт — це такий об'єкт, в який існує єдиний морфізм з будь-якого іншого об'єкта.
- Приклад: У категорії Set ініціальним об'єктом є порожня множина
, термінальним — множина з одного елементу
.
- Приклад: У категорії Group ініціальний і термінальний об'єкт збігаються — це група з одного елементу.
Добуток і сума об'єктів
ред.- Добуток об'єктів
та
— це об'єкт
з морфізмами
та
такими, що для будь-якого об'єкта
з морфізмами
та
існує єдиний морфізм
такий, що
.
Морфізми та
називаються проєкціями.
- Дуально визначається кодобуток (пряма сума):
об'єктів
і
. Відповідні морфізми
та
називаються вкладеннями. Не зважаючи на свою назву, в загальному випадку вони можуть і не бути мономорфізмами.
Якщо добуток і кодобуток існують, то вони визначаються однозначно з точністю до ізоморфізму.
Приклади
ред.- У категорії Set прямий добуток A і B — це добуток в сенсі теорії множин
, а пряма сума — диз'юнктне об'єднання
.
- У категорії Ring пряма сума — це тензорний добуток
, а прямий добуток — сума кілець
.
- У категорії VectK прямий добуток і пряма сума ізоморфні — це сума векторних просторів
.
Фактор-категорія
ред.Фактор-категорія — конструкція, яка є аналогічною конструкції фактор-множини або фактор-алгебри. Нехай — довільна категорія, у класі морфізмів
задане відношення еквівалентності
яке задовільняє наступним умовам
- якщо
то кінці морфізмів
та
співпадають;
- якщо
та добуток
визначений, то
Через позначається клас еквівалентності морфізму
Фактор-категорією категорії
по відношенню еквівалентності називається категорія
у якої ті самі об'єкти, що й у
а для будь-якої пари об'єктів
множина морфізмів
складається з класів еквівалентності
де
у
добуток морфізмів
визначається формулою
Усяка мала категорія є фактор-категорії шляхів над підходячим орієнтованим графом.[6]
Ядерна пара морфізму — узагальнення поняття еквівалентности, індукованого відображенням однієї множини у іншу. Морфізми категорії
є ядерною парою морфізму
якщо
та якщо для пари довільних морфізмів
для якої
існує такий єдиний морфізм
що
та
Функтори
ред.Функтори — відображення категорій, що зберігають структуру. Точніше
- (Коваріантний) функтор
ставить у відповідність кожному об'єктові категорії
об'єкт категорії
і кожному морфізму
морфізм
так, що
і
.
- Контраваріантний функтор, або кофунктор — це функтор з
у
, тобто «функтор, що перевертає стрілки».
Мала категорія
ред.Клас об'єктів не обов'язково є множиною у сенсі аксіоматичної теорії множин. Категорія , у якій об'єкти
є множиною та морфізми
є множиною, називається малою.
Нехай — функтор з малої категорії у довільну. Шаром
функтора
над
є категорія, об'єктами якої є пари
об'єктів
та морфізмів
категорії
, а морфізмами
між парами — трійки
морфізмів
таких, що
Двоїсто, ко-шаром
називається категорія, яка складається з пар
об'єктів
та морфізмів
у якій морфізмами
є трійки
які задовільняють співвідношенню
Функтор
(або, відповідно,
), який діє як
на об'єктах й як
на морфізмах, називається забуваючим функтором.
Тензорна категорія
ред.Нехай категорія та нехай
— функтор, які називаються тензорним добутком. Категорія називається тензорною, якщо виконуються наступні умови:
- Заданий деякий ізоморфізм функторів
Це значить, що для
є ізоморфізм.
- Виконується аксіома п'ятикутника:
- Є об'єкт
для якого задані натуральні ізоморфізми
та
- Виконується аксіома трикутника:
Наприклад, для трійок та
є такий ізоморфізм
, що діаграма
є комутативною.[7]
Категорія Дрінфельда
ред.Володимир Гершонович Дрінфельд визначив квазі-трикутну моноїдальну категорію. Нехай — категорія, об'єктами якої є
-модулі, а
Це —
-лінійна адитивна категорія. Тепер нехай
Розгляньмо гомоморфізм
який визначається формулою
, і
Тут
є морфізмом асоціативності (асоціатором Дрінфельда). Через
позначений елемент Казіміра. Через
позначені співвідношення шестикутника. Для довільних
має місце тензорний добуток
Морфізм асоціативності
є елементом
Для
визначмо також скручення
формулою
де
є перестановкою. Морфізми
визначають структуру квазі-трикутної категорії на
[8]
Функтор Сера
ред.Функтором Сера триангульованої -лінійної
-скінченної категорії
є коваріантний адитивний функтор
який комутує із зсувами, якщо має місце автоеквівалентність
така, що мають місце біфункторіальні ізоморфізми
де Якщо функтор Сера існує, то він єдиний з точністю до ізоморфізму.
Для гладкого проективного многовиду розмірності
й канонічного пучка
класична двоїстість Сера
де є наслідком того, що
є функтором Сера на довільній категорії обмежених комплексів когерентних пучків
Якщо на триангульованій
-лінійній
-скінченній категорії
є функтор Сера, то така категорія є категорією із двоїстістю Сера.
Нехай — скінченновимірна алгебра над
яка має скінченну гомологічну розмірність,
— довільна категорія скінченновимірних лівих
-модулів. Наявні два функтори дуалізації, які переводять
у
(праві моулі), й навпаки:
Тут — категорія скінченнопороджених модулів над скінченновимірною
-алгеброю
глобальної розмірності. Композиція
називається функтором Накаями й є функтором Сера у категорії
Тріагнульована -лінійна
-скінченна категорія
називається категорією Калабі-Яу, якщо триангульований
-кратний функтор зсуву
є функтором Сера. Найменше
називається розмірністю Калабі-Яу категорії
й позначається
Якщо категорія
не є категорією Калабі-Яу, то
Триангульовані категорії із двоїстістю Сера представляють інтерес тому, що на спадкових абелевих категоріях Нетер є двоїстість Сера.[9]
Мультикатегорія
ред.Мультикатегорією є набір об'єктів стрілок
операція композиції визначається як у звичайній категорії. У звичайній категорії область визначення
— одиничний об'єкт, тоді як у мультикатегорії це скінченна множина об'єктів. Іншими словами, для звичайної категорії
тоді як у мультикатегорії
Примітки
ред.- ↑ Хелемский, А. Я. (2004). Лекции по функциональному анализу (рос.). Москва: МЦНМО. ISBN 5-94057-065-8.
- ↑ D.E. Rydeheard, R.M. Burstall Computational Category Theory, — New York: Prentice Hall. — в 1988. — XIII, 257 р. — ISBN 0-13-162736-8.
- ↑ Чи потрібна фізикам теорія категорій?. Архів оригіналу за 5 березня 2010. Процитовано 15 березня 2010.
- ↑ Топоси для фізики. [Архівовано 5 грудня 2008 у Wayback Machine.] {ref-en}
- ↑ J. Adámek, H. Herrlich, G. E. Strecker Abstract and concrete categories: The joy of cats [Архівовано 25 березня 2010 у Wayback Machine.], — New York: John Wiley and Sons, — 1990.
- ↑ Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
- ↑ Тензорные категории и R - матрица для Uq(sl2) (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 28 лютого 2020.
- ↑ В. Г. Дринфельд, О квазитреугольных квазихопфовых алгебрах и одной группе, тесно связанной с Gal(Q/Q), Алгебра и анализ, 1990, том 2, выпуск 4, 149–181.
- ↑ А. И. Бондал, М. М. Капранов, Представимые функторы, функторы Серра и перестройки, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1989, том 53, выпуск 6, 1183–1205.
Див. також
ред.Література
ред.- С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.
- И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
- Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974.
- Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Abstract and concrete categories. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6.
- Awodey, Steven (2006). Category Theory (Oxford Logic Guides 49). Oxford University Press.
- Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter (2004). Categorical foundations. Encyclopedia of Mathematics and its Applications 97. Cambridge University Press.
Посилання
ред.- Категорій теорія [Архівовано 19 квітня 2016 у Wayback Machine.] // Енциклопедія сучасної України / ред. кол.: І. М. Дзюба [та ін.] ; НАН України, НТШ. — К. : Інститут енциклопедичних досліджень НАН України, 2001–2023. — ISBN 966-02-2074-X.
- Category Theory and Haskell [Архівовано 13 грудня 2017 у Wayback Machine.]
- Category Theory for Programmers [Архівовано 27 червня 2018 у Wayback Machine.]