Псевдометричний простір
В математиці, псевдометричний простір є узагальненням метричного простору, у якому відстань між двома різними точками може бути рівною нулю. Кожен напівнормований простір є псевдометричним простором, аналогічно як нормований простір є метричним.
Означення
ред.Псевдометричним простором називається множина
разом із невід'ємною дійснозначною функцією
(що називається псевдометрикою), такою що, для усіх точок
,
.
(симетричність)
(нерівність трикутника)
На відміну від метричних просторів, можливі випадки коли для різних точок
.
Приклади
ред.- На будь-якій множині
можна ввести нульову псевдометрику, для якої
для всіх
. Ця псевдометрика породжує антидискретну топологію.
- Псевдометрики часто виникають у функціональному аналізі. Розглянемо простір
дійснозначних функцій
разом із виділеною точкою
. Тоді на просторі функцій можна ввести псевдометрику
- для
- Для векторного простору
, напівнорма
породжує псевдометрику на
:
- Навпаки, однорідна, інваріантна щодо перенесень псевдометрика породжує напівнорму.
- Псевдометрики відграють важливу роль у теорії комплексних многовидів.
- Кожен вимірний простір
є повним псевдометричним простором з псевдометрикою
- для всіх
, де
позначає симетричну різницю множин.
- якщо
є функцією і d2 — псевдометрика на X2, то
є псевдометрикою на X1. Якщо d2 є метрика і f є ін'єктивною, тоді d1 є метрикою.
- Якщо
є псевдометриками на
то і довільна скінченна сума
і також
будуть псевдометриками на
.
Топологія
ред.Псевдометричною топологією називається топологія, породжена відкритими кулями у псевдометриці:
які утворюють базу топології. Топологічний простір називається псевдометризовним, якщо для нього існує псевдометрика, топологія якої збігається з заданою топологією простору.
Псевдометрика є метрикою, якщо і тільки якщо її топологія задовольняє аксіому T0.
Псевдометризовна топологія є цілком регулярною, але не обов'язково гаусдорфовою: одноточкові множини можуть бути незамкнутими. Кожна цілком регулярна топологія може бути задана сім'єю псевдометрик як структурне об'єднання породжених ними топологій. Аналогічно, сім'ї псевдометрик використовуються для означення, опису і дослідження рівномірних структур.
Псевдометричний простір є нормальним і задовольняє першій аксіомі зліченності. Друга аксіома зліченності виконується в тому і тільки в тому випадку, коли цей простір є сепарабельним.
Метрична ідентифікація
ред.Псевдометрика задає відношення еквівалентності, що називається метричною ідентифікацією і для якого фактор-множина є метричним простором. У цьому відношенні якщо
. Нехай
— фактор-простір X для цього відношення еквівалентності. Введемо функцію[1][2]
Тоді є метрикою на
і
є метричним простором, що називається метричним простором, породженим псевдометричним простором
.
- Функція
є добре означеною, тобто не залежить від представників класу еквівалентності. Справді нехай
і
, тобто
і
. Тоді з нерівності трикутника і симетрії
. Симетрично також
і тому
. Те, що
задовольняє аксіоми метрики одразу випливає з того, що
задовольняє аксіоми псевдометрики.
Множина є відкритою у
, якщо і тільки якщо
є відкритою у
і
.
Примітки
ред.- ↑ Howes, Norman R. (1995). Modern Analysis and Topology. New York, NY: Springer. с. 27. ISBN 0-387-97986-7. Процитовано 10 вересня 2012.
- ↑ Simon, Barry (2015). A comprehensive course in analysis. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 1470410990.
Див. також
ред.Література
ред.- Келли Дж., Общая топология, пер. с англ., 2 изд., Москва, 1981