Формула Гаусса — Бонне
Фо́рмула Га́усса — Бонне́ пов'язує Ейлерову характеристику області двовимірного многовида з кривиною Гаусса в цій області та геодезичною кривиною кривої, яка обмежує область.
Формулювання
ред.Нехай — компактний двовимірний орієнтований ріманів многовид із гладкою межею
. Позначимо через
гаусову кривину
та через
геодезичну кривину
. Тоді
де — ейлерова характеристика
.
Зокрема, якщо у межа відсутня, отримуємо спрощений вираз
Якщо поверхня деформується, то її ейлерова характеристика не змінюється, в той час як гаусова кривина може змінюватися в кожній точці. Проте, згідно з формулою Гаусса — Бонне, інтеграл гаусової кривини залишається не змінним.
Пояснення позначень
ред.Топологія областей інтегрування
ред.Область обмежена. Але вона може бути доволі складною, мати одну або кілька компонент зв'язності:
Очевидно, що при цьому перший інтеграл в формулі (1) розбивається на суму інтегралів по компонентах.
Кожна з цих компонент в свою чергу може бути топологічно складною.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/06/Gauss-Bonnet_theorem.svg/400px-Gauss-Bonnet_theorem.svg.png)
Зокрема область може повністю покривати замкнутий многовид (наприклад сферу, тор, …) і не мати межі зовсім — тоді другого інтеграла в формулі (1) не буде:
В інших випадках межа області
може складатися з одного контуру (наприкладякщо область гомеоморфна кругу), або більшої кількості контурів
(наприклад якщо область є кільцем між двома концентричними колами):
В цих випадках інтеграл по межі також розбивається на суму інтегралів по
.
Кривини
ред.Буквою під першим інтегралом (1) позначено кривиною Гаусса другого степеня, яка для двовимірного многовида дорівнює половині скалярної кривини:
Геодезична кривина кривої взагалі кажучи є вектором, ортогональним до одиничного дотичного вектора
, і який лежить у многовиді. Але в формулі (1) через
позначено скалярну величину — проєкцію вектора геодезичної кривини на напрям нормалі, напрямленої всередину області
.
Запишемо вищесказане математично. Компоненти вектора геодезичної кривини обчислюються через тензорну похідну одиничного дотичного вектора по натуральному параметру кривої:
Нормаль до вектора можна утворити дією одиничного антисиметричного тензора
, а тому (при належному виборі напрямку обходу контуру):
Коефіцієнт в правій частині формули (7) той самий, який стоїть під другим інтегралом в формулі (1).
Злами на контурах
ред.В попередньому підпункті ми розглядали гладкий контур . Але неважко, використовуючи граничний перехід, узагальнити формулу (1) для кусково-гладкої межі яка складається з гладких дуг, що сходяться під деяким кутом між собою (дивіться наприклад статтю Геодезичний трикутник).
Якщо в точці зламу дотичний вектор
розвертається на кут
в сторону області
(може бути додатне чи від'ємне число) то формула (1) узагальнюється до такої:
В цій формулі другий інтеграл береться по гладких ділянках дуг межі .
Для виводу формули (8) область , яка має злами на межі, треба апроксимувати областю
, яка має згладжені кути. Потім радіус закруглення на кутах спрямовуємо до нуля.
Ейлерова характеристика
ред.Обмежену двовимірну область можна розбити лініями на кілька менших підобластей
, гомеоморфних кругу. Лінії в свою чергу можна поділити точками на дуги, гомеоморфні відрізку. Якщо позначити кількість точок буквою
(вершини графу), кількість дуг буквою
(ребра графу), а кількість підобластей буквою
(грані), то наступне ціле число:
не залежить від способу розбивки області і називаєтьсяхарактеристикою Ейлера.Для кожної підобласті
можна знайти карту (систему координат
), яка відображає область Евклідової площини в
.
Три етапи доведення теореми Гаусса — Бонне
ред.На першому етапі доводимо теорему для простої області, гомеоморфної кругу, з гладкою границею. На другому етапі граничним переходом поширюємо теорему на просту область з кутами. На третьому (топологічному) етапі об'єднуємо та склеюємо прості області в довільну область і показуємо, що при операціях об'єднання та склейки формула (1) залишається справедливою.
Перший етап доведення
ред.Обчислення характеристики Ейлера
ред.Обчислимо характеристику Ейлера для простої області . Межа цієї області є контуром
, гомеоморфним колу. Поставимо на цьому контурі дві точки
і
, які розбивають наш контур на дві дуги, гомеоморфні відрізку. Маємо дві вершини, два ребра і одну грань — саму область
, тому за формулою (9) маємо:
і нам треба довести наступну формулу для цього випадку:
Вектори на контурі
ред.![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/70/Parallel_transport_2D.svg/300px-Parallel_transport_2D.svg.png)
Візьмемо точку на контурі
. Позначимо буквою
вектор нормалі до контуру, напрямлений всередину області
. При належному виборі напрямку обходу контуру компоненти цього вектора виражаються через дотичний вектор
та одиничний антисиметричний тензор
:
При обході контуру, очевидно, вектори і
повернуться на кут
і збіжаться з початковими значеннями цих векторів.
Щоб простежити, як здійснюється цей поворот, розглянемо паралельне перенесення векторів. Як відомо, при паралельному перенесенні двох векторів зберігаються довжини векторів і кут між ними.
Нехай вектори і
збігаються з векторами
і
в початковій точці
, але потім при обході контуру переносяться паралельно і після обходу виявляються повернутими на деякий кут
. Ці два вектора утворюють ортонормований базис:
Розкладемо одиничний дотичний вектор забазисом
:
де — кут, на який повернутий вектор
відносно вектора
. На початку обходу
.
В кінці обходу вектор повернеться на кут
, а вектор
на кут
, тому:
Повороти векторів на контурі і геодезична кривина
ред.Маємо такі тензорні диференціали векторів вздовж контуру:
тому при диференціюванні рівності (15) одержуємо:
Порівнюючи формули (20) і (7) знаходимо:
Порівнюючи формули (22) і (11) одержуємо таку формулу, яку нам лишається довести:
Застосування формули Остроградського — Гаусса
ред.В лівій частині формули (23) стоїть інтеграл по двовимірній області , а в правій — поворот вектора при паралельному перенесенні довкола межі
області
, який природно буде виразити через контурний інтеграл. Ці два інтеграла — інтеграл по двовимірній області і інтеграл по межі цієї області можна пов'язати через застосування формули Остроградського — Гаусса. Але для цього нам знадобиться допоміжне векторне поле, яке визначене і диференційовне скрізь всередині області
та на її межі
.
Вибір допоміжного векторного поля
ред.Оскільки на контурі нас можуть цікавити лише кути між векторами а не їхні довжини, то доцільно вибрати допоміжне векторне поле
одиничної довжини, причому не лише на контурі, а і скрізь всередині області
:
Очевидно що умова (24) разом з неперервністю поля накладає деякі обмеження — це поле не може мати всередині
точок завихрення або точок, із яких вектори розходяться (або навпаки, сходяться) в різні боки. В усьому іншому поле
досить довільне.
Наприклад (хоч і необов'язково) можна взяти вектор напрямлений вздовж одного з координатних векторів. Коваріантні координати цього вектора:
Обчислення повороту вектора при паралельному перенесенні по контуру
ред.![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d4/Parallel_transport_and_unit_vector_inside_2D.svg/300px-Parallel_transport_and_unit_vector_inside_2D.svg.png)
На контурі розкладемо одиничний вектор
по базису
:
Тут вектори і
ті ж самі що і раніше в цій статті — здійснюють паралельний обхід контуру.
Кут між векторами
є функцією від натурального параметра
на контурі
:
Оскільки при обході контуру вектор не змінює напрямку, а вектор
повертається на кут
то:
Знак мінус в цій формулі виник внаслідок того, що повертається сам базис, відносно якого ми міряємо .
Продиференціюємо формулу (26) вздовж кривої :
Тензорний диференціал вектора можна записати через коваріантну похідну:
Права ж частина формули (29) виражається через вектор:
який є одиничним вектором, повернутим на кут щодо вектора
.
Одержання контурного інтеграла
ред.Підставивши (30) і (31) в формулу (29), ми одержимо векторне рівняння:
в якому нас цікавить скалярна функція .
Помножимо (32) скалярно на одиничний вектор і візьмемо інтеграл:
Інтеграл в лівій частині цієї рівності фактично є інтегралом по контуру.
Для застосування формули Остроградського — Гаусса нам потрібно, щоб підінтегральний вираз був скалярним добутком деякого вектора на вектор зовнішньої нормалі (в наших старих позначеннях це
).
Фактичне застосування формули Остроградського — Гаусса
ред.Домножимо рівняння (12) на , після цього знайдемо дотичний вектор
:
і підставити його в підінтегральний вираз формули (33), одночасно перейменовуючи індекси:
Вираз у дужках в правій частині цього рівняння і буде тим вектором :
який підставляємо в рівняння (33):
Інтеграл являє собою потік вектора всередину контуру
, враховуючи наш вибір напрямку нормалі
. Застосовуючи формулу Остроградського — Гаусса (і враховуючи знак) маємо інтеграл від дивергенції:
Завершення обчислень
ред.Порівнюючи формули (38) і (23) ми бачимо що для завершення першого етапу нам досить перевірити рівність підінтегральних виразів цих формул:
Дивергенція вектора (36) розкладається на два доданка:
Розпочнемо з другого доданку, а ще краще з частини цього доданку окрім множника . Оскільки тензор
антисиметричний, то:
Тензор Рімана для двовимірного многовида можна виразити через кривину Гаусса K:
Тому вираз (41) спрощується:
а отже другий доданок формули (40) просто дорівнює Гауссовій кривині:
Залишається показати, що перший доданок формули (40) дорівнює нулю.
Це прямо слідує з того факту, що похідні одиничного двовимірного вектора факторизуються (розкладаються на множники):
Дійсно, підставляючи (46) в (45) одержимо вираз:
в якому скалярний добуток векторів в других дужках дорівнює нулю.
Нарешті покажемо справедливість розкладу (46). Із одиничності вектора слідує:
Оскільки вектор також ортогональний до
то маємо наступну однорідну систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими
:
Ця система має ненульовий розв'язок, тому матриця її коефіцієнтів:
вироджена і рядки цієї матриці пропорційні. Тобто ми маємо друге рівняння (46). Перше рівняння одержується аналогічно.
Формулу (11) доведено.
Другий етап доведення
ред.Розглянемо просту область з кусково-гладкою межею. Ми можемо згладити всі кути, вписуючи гладку дугу в кожен криволінійний кут
(див. малюнок).
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Rounded_corner.svg/200px-Rounded_corner.svg.png)
Одержуємо область з гладкою межею, до якої можна застосувати теорему Гаусса — Бонне, доведену на першому етапі. Спробуємо здійснити граничний перехід формули (11) стягуючи дугу в точку зламу
.
Перший інтеграл формули (11) для згладженої і незгладженої кривих, відрізняється на величину інтеграла по криволінійному трикутнику
Оскільки площа цього трикутника прямує до нуля, а Гауссова кривина обмежена, то і величина (51) прямує до нуля. Отже при граничному переході перший інтеграл
зберігає свій вигляд, просто область може мати злами на контурі.
З другим (контурним) інтегралом складніше. Розглянемо спочатку випадок плоского многовида (евклідову площину). В цьому разі паралельне перенесення не залежить від шляху і тому можна говорити про кут між векторами, що знаходяться в різних точках. Інтегрування геодезичної кривини по дузі , згідно з формулою (22), дає кут між дотичними в точках
і
:
При граничному переході ця величина прямує до кута між двома дотичними векторами в точці зламу
:
а інтеграли по (викинутих при згладжуванні) дугах і
прямують до нуля, оскільки геодезична кривина цих дуг залишається обмеженою, а їхня довжина зменшується до нуля.
Із формули (54) слідує формула (8) при , що і треба було довести.
Нам ще залишається довести, що формула (54) має місце і в загальному випадку викривленого многовида. Виберемо систему координат на мн оговиді в околі точки таку, що метричний тензор
в точці
записується одиничною матрицею
, а символи Крістофеля
в цій точці дорівнюють нулю.
Дану систему координат можна розглядати як дифеоморфне відображення між областю многовиду та областю площини (картою), в якій ця система координат є декартовою.
Позначимо елемент довжини кривої на карті:
а буквою з тильдою — геодезичну кривину кривої на карті. Тоді:
Крапками позначено похідні по параметру .
Із двох останніх формул уже можна зробити висновок про однаковість, з точністю до нескінченно малих доданків, двох інтегралів від геодезичної кривини по дузі , один з яких береться по многовиду, а другий по карті:
але для цього потрібні два додаткових припущення щоб унеможливити надмірну довжину дуги за рахунок осциляцій або закручувань у спіраль. А саме, припустимо що знак геодезичної на дузі
є постійний, а також, що дуга
не має інших спільних точок з криволінійним кутом, окрім своїх кінців.
Дійсно, множник
прямує до одиниці, а символи Крістофеля до нуля внаслідок спеціального вибору системи координат.
Отже і в загальному випадку справедлива границя (54), а тому для простої області доведено варіант формули (8):
Третій етап доведення
ред.Розіб'ємо топологічно складну область на скінченну кількість простих підобластей
, до кожної з яких можна застосувати формулу (58).
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/71/Breakdown_of_2D-region.svg/400px-Breakdown_of_2D-region.svg.png)
Характеристика Ейлера обчислюється за формулою (9)
де позначають кількості вершин, ребер та граней (підобластей
). Для простоти доведення будемо вважати всі ребра одержаного графу гладкими кривими, а всі злами на контурах відбуваються при вершинах графу.
Зручно розглядати внутрішні кути при всіх вершинах графу. Тут перший індекс (
) нумерує всі вершини, як внутрішні, так і ті, що лежать на межі
області
.
Другий індекс ( ) нумерує кути при вершині
.
Злам при вершині є доповненням до внутрішнього кута:
і ми можемо знайти суму формул (58) для всіх підобластей :
Розберемося з кожним із трьох доданків у правій частині формули (59).
Перший доданок, очевидно, дорівнює інтегралу по цілій області :
В другому доданку треба розрізняти зовнішні ребра , які лежать на межі, від внутрішніх.
Інтегрування по внутрішньому ребру відбувається двічі, при розгляді двох суміжних підобластей, що розділяються даним ребром. Причому проєкції геодезичної кривини будуть протилежними:
A отже всі інтеграли по внутрішніх ребрах взаємно компенсуються і в сумі (59) лишаються тільки інтеграли по зовнішніх ребрах:
Перейдемо до розгляду третього доданка формули (59). Для кожної внутрішньої вершини маємо:
де — кількість кінців (внутрішніх) ребер, що сходяться в цій вершині.
Для вершини на межі області маємо:
де також, як і в попередній формулі, позначає кількість кінців внутрішніх ребер, що сходяться у вершині
, а
позначає кут, на який повертається дотичний до лінії межі вектор при переході через точку
.
Оскільки кожне ребро має два кінця, то сума всіх цих кінців дорівнює подвоєній кількості внутрішніх ребер:
і ми можемо записати для третього доданка:
Очевидно, що межа складається з декількох контурів, гомеомеорфних колу. На кожному такому контурі, а отже і на всій межі
кількість вершин
і кількість ребер
однакова. Маємо:
Підставимо формули (60), (61), (65) і (66) в (59). Одержуємо:
що є еквівалентом формули (8). Теорему повністю доведено.
Історія
ред.Окремий випадок цієї формули для геодезичних трикутників був отриманий Гауссом, проте він не опублікував її. В 1848 році її опублікував французький математик Бонне П'єр Осіян, який узагальнив формулу на випадок диска, обмеженого довільною кривою. У сучасному формулюванні формула вперше з'являється у Вільгельма Бляшке.