Định lý nhị thức

Định lý này được chứng minh bằng quy nạp.^[1]

Ta có biểu thức ${\displaystyle P(n):(1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{k}}$ (1) với mọi số tự nhiên n.

Đầu tiên tại P(1) đúng.

Giả sử P(n) đúng, ta phải chứng minh ${\displaystyle P(n+1):(1+x)^{n+1}=(1+x).\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{k}=(1+x)}$ và ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{k+1}=\sum _{k=1}^{n}C_{n}^{k-1}x^{k}+x^{n+1}}$

Áp dụng hằng đẳng thức Pascal ta có:

${\displaystyle (1+x)^{n+1}=1+\sum _{k=1}^{n}(C_{n}^{k}+C_{n}^{k-1}).x^{k}+x^{n+1}=C_{n+1}^{0}.x^{0}+\sum _{k=1}^{n}C_{n+1}^{k}.x^{k}+C_{n+1}^{n+1}.x^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}C_{n+1}^{k}x^{k}}$

Do đó công thức (1) đúng.

Giờ đặt ${\displaystyle x={\frac {b}{a}}\Rightarrow (1+{\frac {b}{a}})^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}{\frac {b^{k}}{a^{k}}}}$ và do đó ${\displaystyle (a+b)^{n}=a^{n}(1+{\frac {b}{a}})^{n}=a^{n}\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}{\frac {b^{k}}{a^{k}}}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}}$

Ta có điều phải chứng minh.

Các trường hợp đặc biệt của định lý này nằm trong danh sách các hằng đẳng thức đáng nhớ.

Ví dụ: điển hình nhất là nhị thức là công thức bình phương của ${\displaystyle x+y}$ :

${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.\!}$

Hệ số nhị thức xuất hiện ở phép triển khai này tương ứng với hàng thứ ba của tam giác Pascal. Các hệ số có lũy thừa cao hơn của ${\displaystyle x+y}$ tương ứng với các hàng sau:

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\\[8pt](x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5},\\[8pt](x+y)^{6}&=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6},\\[8pt](x+y)^{7}&=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7}.\end{aligned}}}$

Chú ý rằng:

1. Lũy thừa của ${\displaystyle x}$ giảm dần cho tới khi đạt đến 0 (${\displaystyle x^{0}=1}$ ), giá trị bắt đầu là ${\displaystyle n}$ (n trong ${\displaystyle (x+y)^{n}}$ .)
2. Lũy thừa của ${\displaystyle y}$ tăng lên bắt đầu từ 0 (${\displaystyle y^{0}=1}$ ) cho tới khi đạt đến ${\displaystyle n}$ (${\displaystyle n}$ trong ${\displaystyle (x+y)^{n}}$ .)
3. Hàng nhị thức của tam giác Pascal sẽ là các hệ số của nhị thức mở rộng (chú ý rằng đỉnh là hàng 0)
4. Với mỗi hàng, tích số (tổng của các hệ số) bằng ${\displaystyle 2^{n}}$ .
5. Với mỗi hàng, nhóm tích số bằng ${\displaystyle n+1}$ .

Định lý nhị thức có thể áp dụng với lũy thừa của bất cứ nhị thức nào. Ví dụ:

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+2)^{3}&=x^{3}+3x^{2}(2)+3x(2)^{2}+2^{3}\\&=x^{3}+6x^{2}+12x+8.\end{aligned}}}$

Với một nhị thức có phép trừ, định lý có thể được áp dụng khi sử dụng phép nghịch đảo số hạng thứ hai.

${\displaystyle (x-y)^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}.\!}$

Trong trường hợp tổng quát trên trường số phức và ràng buộc một số hạng trong nhị thức.

Nếu ${\displaystyle r}$ là một số thực và ${\displaystyle z}$ là một số phức có số dư nhỏ hơn 1 thì khi đó, ta sẽ phân tích được ra thành một chuỗi vô hạn hội tụ:

${\displaystyle (1+z)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}z^{k}}$

Trong đó:

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}={\frac {n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{k!}}}$

• Định lý khai triển đa thức
• Định lý luật số lớn
• Tam giác Pascal

• H Anton, Calculus with Analytic Geometry (NewYork, 1980)