Tiệm cận (giải tích)

Trong giải tích toán học, tiệm cận là một thuật ngữ mô tả các hành vi tại vô cùng.

Ví dụ, giả sử ta quan tâm đến thuộc tính của hàm $f (n)$ khi $n$ rất lớn. Nếu $f (n) = n 2 + 3 n$ , thì khi $n$ rất lớn, số hạng $3 n$ trở nên không đáng kể so với $n 2$ . Hàm $f (n)$ được gọi là "tương đương tiệm cận với $n 2$ , khi $n \to \infty$ ". Kí hiệu $f (n) ~ n 2$ , cũng đọc là " $f (n)$ tiệm cận đến $n 2$ ".

Một kết quả tiệm cận quan trọng trong toán học là định lý phân bố số nguyên tố. Gọi $π(x)$ là hàm đếm số nguyên tố (không liên quan trực tiếp đến hằng số pi), tức là $π(x)$ là số lượng số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng $x$ . Định lý phát biểu rằng

\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}.

khi $x\to \infty$ .

Định nghĩa

Cho trước các hàm $f (x)$ và $g (x)$ , ta xác định mối quan hệ

f(x)\sim g(x)\quad ({\text{khi }}x\to \infty )

nếu và chỉ nếu

\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=1.

Miền xác định của $f$ và $g$ có thể là bất kỳ tập hợp nào được sao cho giới hạn được xác định: ví dụ như tập số thực, tập số phức, tập số nguyên dương.

Ký hiệu tương tự cũng được sử dụng tại các vị trí giới hạn khác (khác vô cùng): ví dụ $x \to 0$ , $x ↓ 0$ , $| x | \to 0$ . Giới hạn nói chung là ngầm hiểu từ hoàn cảnh.

Trong trường hợp $g (x)$ tiến tới 0 tại giới hạn, ta có một định nghĩa thay thế, sử dụng kí hiệu O nhỏ:

f(x)-g(x)=o(g(x)).

Xem thêm

Tham khảo

Balser, W. (1994), From Divergent Power Series To Analytic Functions
de Brujin, N. G. (1981), Asymptotic Methods in Analysis
Estrada, R.; Kanwal, R. P. (2002), A Distributional Approach to Asymptotics
Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis
Murray, J. D. (1984), Asymptotic Analysis
Paris, R. B.; Kaminsky, D. (2001), Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals, Cambridge University Press

Liên kết ngoài

Asymptotic Analysis —home page of the journal, which is published by IOS Press
A paper on time series analysis using asymptotic distribution