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估计理论是统计学和信号处理中的一个分支,主要是通过测量或经验数据来估计概率分布参数的数值。这些参数描述了实质情况或实际对象,它们能够回答估计函数提出的问题。
例如,估计投票人总体中,给特定候选人投票的人的比例。这个比例是一个不可观测的参数,因为投票人总体很大;估计值建立在投票者的一个小的随机采样上。
又如,雷达的目的是物体(飞机、船等)的定位。这种定位是通过分析收到的回声(回波)来实现的,定位提出的问题是“飞机在哪里?”为了回答这个问题,必须估计飞机到雷达之间的距离。如果雷达的绝对位置是已知的,那么飞机的绝对位置也是可以确定的。
在估计理论中,通常假定信息隐藏在包含雜訊的信号中。噪声增加了不确定性,如果没有不确定性,那么也就没有必要估计了。
有非常多的领域使用参数估计理论。这些领域包括(当然不局限于以下列出的领域):
测量参数包含噪声或者其他不确定性。通过统计概率,可以求得最优化的解,用来从数据中提取尽可能多的信息。
估计理论的全部目的都是获取一个估计函数,最好是一个可以实现的估计函数。估计函数输入测量数据,输出相应参数的估计。
我们通常希望估计函数能最优,一个最优的估计意味着所有的信息都被提取出来了;如果还有信息没有提取出来,那就意味着它不是最优的。
一般来说,求估计函数需要三步:
- 为了实现一个预测单个或者多个参数的所期望的估计器,首先需要确定系统的模型。这个模型需要将需要建模的过程以及不确定性和和噪声融合到一起,这个模型将描述参数应用领域的物理场景。
- 在确定模型之后,需要确定估计器的限制条件。这些限制条件可以通过如Cramér-Rao不等式这样的方法找到。
- 下一步,需要开发一个估计器或者应用一个已知的对于模型有效的估计器。这个估计器需要根据限制条件进行测试以确定它是否是最优估计器,如果是的话,它就是最好的估计器。
- 最后,在估计器上运行试验或者仿真以测试性能。
当实现一个估计器之后,实际的数据有可能证明推导出估计器的模型是不正确的,这样的话就需要重复上面的过程重新寻找估计器。不能实现的估计器需要抛弃,然后开始一个新的过程。总的来说,估计器根据实际测量的数据预测物理模型的参数。
考虑由
个独立采样点构成的离散信号
,它由常数
和零均值、方差为
的加性高斯白噪声
(即
)构成。方差已知,未知参数为
。
信号的模型为:
参数
的两个可能的估计器是:
,即采样平均(Sample mean)
通过计算两个估计器的期望可以发现,它们的均值均为
:
和
两个估计器的均值没有差异,然而它们的方差不同:
和
当
时,
,所以似乎采样平均
是一个更好的估计器。
使用最大似然估计继续上面的例子,噪声在采样点
上的概率密度函数(pdf)为:
此时
的概率为(
服从分布
):
由于相互独立,
的概率为:
对上式取自然对数:
于是最大似然估计器为:
计算对数-最大似然函数的一阶导数:
令其为0:
得到最大似然估计器:
它是一个简单的采样平均。从这个例子中可以发现,被独立同分布的加性高斯白噪声污染的、由未知常数构成的
点信号的最大似然估计其就是采样平均。
为了找到采样平均估计器的Cramér-Rao下限(CRLB),需要找到Fisher information数
从上面得到
取二阶导数
发现负的期望值是无关紧要的(trivial),因为它现在是一个确定的常数
最后,将Fisher information代入
得到
将这个值与前面确定的采样平均的变化比较显示对于所有的
和
来说采样平均都是等于Cramér-Rao下限。
采样平均除了是最大似然估计器之外还是最小变化无偏估计器(MVUE)。
这个直流增益 + WGN的例子是Kay的统计信号处理基础中一个例子的再现。