雙極圓柱坐標系
雙極圓柱坐標系(英語:Bipolar cylindrical coordinates)是一種三維正交坐標系。往 z-軸方向延伸二維的雙極坐標系 ,則可得到雙極圓柱坐標系。雙極坐標系的兩個焦點 與 ,其直角坐標 分別設定為 與 。延伸至三維空間,這兩個焦點分別變成兩條直線, 與 ,稱為焦線。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b2/Apollonian_circles.svg/350px-Apollonian_circles.svg.png)
基本定義
编辑雙極圓柱坐標 通常定義為
、
、
;
其中,點 的
坐標等於
的弧度,
坐標等於
與
的比例的自然對數
。
注意到焦線 與
的坐標分別為
與
。
坐標曲面
编辑![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/df/Bipolar_coordinates.png)
不同 的坐標曲面是一組不同圓心線,而相交於兩個焦線
與
的圓柱面:
。
它們的圓心線都包含於 yz-平面。正值 的圓柱面的圓心線都在
半空間;而負值
的圓柱面的圓心線則在
半空間。當絕對值
增加時,圓半徑會減小,圓心線會靠近原點。當圓心線包含原點時,
達到最大值
。
不同 的坐標曲面是一組圍著焦線,互不相交,不同半徑的圓柱面。半徑為
。
它們的圓心線都包含於 xz-平面。正值 的圓柱面在
半空間;而負值
的圓柱面在
半空間。
平面則與 yz-平面同平面。當
值增加時,圓柱面的半徑會減少,圓心線會靠近焦點。
逆變換
编辑![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d8/Bipolar_sigma_isosurfaces.png/280px-Bipolar_sigma_isosurfaces.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/Bipolar_tau_isosurfaces.png/280px-Bipolar_tau_isosurfaces.png)
雙極圓柱坐標 可以用直角坐標
來表示。點 P 與兩個焦線之間的距離是
、
。
是
與
的比例的自然對數:
。
是兩條從點 P 到兩個焦點的線段
與
的夾角。這夾角的弧度是
。用餘弦定理來計算:
。
z-坐標的公式不變:
。
標度因子
编辑雙極圓柱坐標 與
的標度因子相等;而
的標度因子是 1 :
、
。
所以,無窮小體積元素等於
。
。
其它微分算子,例如 與
,都可以用雙極圓柱坐標表達,只需要將標度因子代入正交坐標系的一般方程式內。
應用
编辑雙極圓柱坐標有一個經典的應用,這是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏,雙極圓柱坐標允許分離變數法的使用。一個典型的例題是,有兩個互相平行的圓柱導體,請問其周圍的電場為什麼?應用雙極圓柱坐標,我們可以精緻地分析這例題。
參閱
编辑參考文獻
编辑- Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 187–190.
- Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 182. ASIN B0000CKZX7.
- Moon P, Spencer DE. Conical Coordinates (r, θ, λ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. 1988: unknown. ISBN 978-0387184302.