同调
数学上(特别是代数拓扑和抽象代数),同调 (homology,在希腊语中homos = 同)是一类将一个可换群或者模的序列和特定数学对象(例如拓扑空间或者群)联系起来的过程。背景知识请参看同调论。
对于一个特定的拓扑空间,同调群通常比同伦群要容易计算得多,因此通常来讲用同调来辅助空间分类要容易处理一些。
同调群的构造
编辑其过程如下:给定对象 ,首先定义链复形,它包含了
的信息。一个链复形是一个由群同态联系起来的可换群或者模
的序列,群同态
满足任何两个相连的同态的复合为0:
对于所有
成立。这意味着第
个映射的像包含在第
个映射的核中,我们定义
的
阶同调群为商群(商模)
链复形称为正合的,如果( )阶映射的像总是等于
阶映射的核。因此
的同调群是衡量
所关联的链复形离正合有“多远”的障碍。
非正式的例子
编辑非正式地,拓扑空间X的同调是X的拓扑不变量的集合,用其同调群来表示
其中第 个同调群
描绘了
中的
维圈 (cycle),实现为
维圆盘边界 (boundary) 的障碍。0维同调群刻画了两个零维圈,也即点,实现成一维圆盘,也即线段的边界的障碍,因此
刻画了
中的道路连通分支。[1]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a0/Circle_-_black_simple.svg/220px-Circle_-_black_simple.svg.png)
一维球面 是一个圆。它有一个连通分支和一个一维圈,但没有更高维圈。其对应的同调群由下式给出
其中 表示整数加群,
表示平凡群。
表示
的一阶同调群为由一个元素生成的有限生成阿贝尔群,其唯一的生成元表示圆中包含的一维圈。[2]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/16/Sphere_wireframe_10deg_4r.svg/220px-Sphere_wireframe_10deg_4r.svg.png)
二维球面 有一个连通分支,零个一维圈,一个二维圈(即球面),无更高维的圈,其对应的同调群为[2]
一般地,对 维球面
,其同调群为
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/51/1-ball.svg/220px-1-ball.svg.png)
二维实心球 有一个道路连通分支,但与圆不同的是,
没有一维或更高维的圈,其对应的同调群除了零阶同调群
以外,其余阶的同调群均为平凡群。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ac/Simple_torus_with_cycles.svg/220px-Simple_torus_with_cycles.svg.png)
环面被定义为两个圆 的笛卡尔积。环面有一个道路连通分支,两个独立的一维圈(在图中以红圈和蓝圈分别标出),以及一个二维圈(环面的内部)。其对应的同调群为[3]
两个独立的一维圈组成了一组有限生成阿贝尔群的独立生成元,表示为笛卡尔积群 .
例子
编辑引入同调的概念可以用单纯复形 的单纯同调:设
为
中的
维可定向单纯形生成的自由交换群或者模,映射
映射称为边缘映射 (boundary map),它将
维单纯形
映射为如下交错和
,其中 表示
限制在
对应的面 (face)上。如果我们将模取在一个域上,则
的
阶同调的维数就是
中
维圈的个数。
仿照单纯同调群,可以定义任何拓扑空间 的奇异同调群。我们定义
的上同调的链复形中的空间为
为自由交换群(或者自由模),其生成元为所有从
为单纯形到
的连续函数。同态
从单纯形的边缘映射得到。
同调代数中,同调用于定义导出函子,例如,Tor函子。这里,我们可以从某个可加协变函子 和某个模
开始。
的链复形定义如下:首先找到一个自由模
和一个满同态
。然后找到一个自由模
和一个满同态
。以该方式继续,得到一个自由模
和同态
的序列。将函子
应用于这个序列,得到一个链复形;这个复形的同调
仅依赖于
和
,并且按定义就是
作用于
的n阶导出函子。
同调函子
编辑链复形构成一个范畴:从链复形 到链复形
的态射是一个同态的序列
,满足
对于所有
成立。
阶同调
可以视为一个从链复形的范畴到可换群(或者模)的范畴的协变函子。
若链复形以协变的方式依赖于对象 (也就是任何态射
诱导出一个从
的链复形到
的链复形的态射),则
是从
所属的范畴到可换群(或模)的范畴的函子。
同调和上同调的唯一区别是上同调中的链复形以逆变方式依赖于 ,因此其同调群(在这个情况下称为上同调群并记为
)构成从
所属的范畴到可换群或者模的范畴的逆变函子。
性质
编辑若 是链复形,满足出有限个
外所有项都是零,而非零的都是有限生成可换群(或者有限维向量空间),则可以定义欧拉示性数
(可换群采用阶而向量空间的情况采用哈默尔维数)。事实上在同调水平上也可以计算欧拉示性数:
特别地,在代数拓扑中,欧拉示性数 是拓扑空间的重要不变量。
此外,每个链复形的短正合序列
诱导一个同调群的长正合序列
这个长正合序列中的所有映射由链复形间的映射导出,除了映射 之外。后者称为连接同态,由蛇引理给出。
参看
编辑參考文獻
编辑- ^ Spanier 1966,第155頁
- ^ 2.0 2.1 Gowers 2010,第390–391頁
- ^ Hatcher 2002,第106頁
- Hatcher, A. Algebraic Topology. Cambridge University Press. 2002 [2021-11-18]. ISBN 0-521-79540-0. (原始内容存档于2018-05-15). 有仔細討論單複形、流形的同調論、奇異同調等。
- Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (编). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. 2010. ISBN 9781400830398.
- Spanier, Edwin H. Algebraic Topology. Springer. 1966: 155. ISBN 0-387-90646-0.