氫原子問題的薛丁格方程式為[2]:131-145:
;
其中,
是約化普朗克常數,
是電子與原子核的約化質量,
是量子態的波函數,
是能量,
是庫侖位勢:
;
其中,
是真空電容率,
是單位電荷量,
是電子離原子核的距離。
採用球坐標
,將拉普拉斯算子展開:
。
猜想這薛丁格方程式的波函數解
是徑向函數
與球諧函數
的乘積:
。
參數為天頂角和方位角的球諧函數,滿足角部分方程式[2]:160-170:
;
其中,非負整數
是軌角動量的角量子數。磁量子數
(滿足
)是軌角動量對於 z-軸的(量子化的)投影。不同的
與
給予不同的軌角動量函數解答
:
;
其中,
是虛數單位,
是伴隨勒讓德多項式,用方程式定義為
;
而
是
階勒讓德多項式,可用羅德里格公式表示為:
。
徑向函數滿足一個一維薛丁格方程式:[2]:145-157
。
方程式左邊的第二項可以視為離心力位勢,其效應是將徑向距離拉遠一點。
除了量子數
與
以外,還有一個主量子數
。為了滿足
的邊界條件,
必須是正值整數,能量也離散為能級
。隨著量子數的不同,函數
與
都會有對應的改變。按照慣例,規定用波函數的下標符號來表示這些量子數。這樣,徑向函數可以表達為
;
其中,
。
近似於波耳半徑
。假若,原子核的質量是無限大的,則
,並且,約化質量等於電子的質量,
。
是广义拉盖尔多项式,其定義式可在條目拉盖尔多项式裡找到。
广义拉盖尔多项式
另外還有一種在量子力學裡常用的定義式(兩種定義式不同):[2]:152
;
其中,
是拉盖尔多项式,可用羅德里格公式表示為
。
為了要結束广义拉盖尔多项式的遞迴關係,必須要求量子數
。
按照這種定義式,徑向函數表達為
。
知道徑向函數
與球諧函數
的形式,可以寫出整個量子態的波函數,也就是薛丁格方程式的整個解答:
。
量子數
、
、
,都是整數,容許下述值:[2]:165-166
,
,
。
每一個原子軌域都有特定的角動量向量
。它對應的算符是一個向量算符
。角動量算符的平方
的本徵值是[2]:160-164
。
角動量向量對於任意方向的投影是量子化的。設定此任意方向為 z-軸的方向,則量子化公式為
。
因為
,
與
是對易的,
與
彼此是相容可觀察量,這兩個算符有共同的本徵態。根據不確定性原理,可以同時地測量到
與
的同樣的本徵值。
由於
,
與
互相不對易,
與
彼此是不相容可觀察量,這兩個算符絕對不會有共同的基底量子態。一般而言,
的本徵態與
的本徵態不同。
給予一個量子系統,量子態為
。對於可觀察量算符
,所有本徵值為
的本徵態
,形成了一組基底量子態。量子態
可以表達為這基底量子態的線性組合:
。對於可觀察量算符
,所有本徵值為
的本徵態
,形成了另外一組基底量子態。量子態
可以表達為這基底量子態的線性組合:
。
假若,測量可觀察量
,得到的測量值為其本徵值
,則量子態機率地塌縮為本徵態
。假若,立刻再測量可觀察量
,得到的答案必定是
,在很短的時間內,量子態仍舊處於
。可是,假若改為立刻測量可觀察量
,則量子態不會停留於本徵態
,而會機率地塌縮為
本徵值是
的本徵態
。這是量子力學裏,關於測量的一個很重要的特性。
根據不確定性原理,
。
的不確定性與
的不確定性的乘積
,必定大於或等於
。
類似地,
與
之間,
與
之間,也有同樣的特性。
電子的總角動量必須包括電子的自旋。在一個真實的原子裏,因為電子環繞著原子核移動,會感受到磁場。電子的自旋與磁場產生作用 ,這現象稱為自旋-軌道作用。當將這現象納入計算,自旋與角動量不再是保守的,可以將此想像為電子的進動。為了維持保守性,必須取代量子數
、
與自旋的投影
,而以量子數
,
來計算總角動量。[2]:271-275
在原子物理學裏,因為一階相對論性效應,與自旋-軌道耦合,而產生的原子譜線分裂,稱為精細結構。[2]:271-275
非相對論性、無自旋的電子產生的譜線稱為「粗略結構」。氫原子的粗略結構只跟主量子數
有關。可是,更精確的模型,考慮到相對論效應與自旋-軌道效應,能夠分解能級的簡併,使譜線能更精細地分裂。相對於粗略結構,精細結構是一個
效應;其中,
是精細結構常數。
在相對論量子力學裏,狄拉克方程式可以用來計算電子的波函數。用這方法,能階跟主量子數
、總量子數
有關[3][4],容許的能量為:
。