在學術界內,關於球座標系的標記有好幾個不同的約定。按照國際標準化組織建立的約定(ISO 31-11),球坐標標記為
,其中
代表徑向距離,
代表極角,
代表方位角,極角也稱為倾斜(inclination)角、法线角或天頂(zenith)角。這種標記通常為物理界的學者所採用,在世界各地有許多使用者,本條目採用的是物理學界標記約定。方位角(azimuth)、高度(altitude或elevation)角和天頂的概念出自關於天球的地平坐標系。在極坐標系中,角度坐標
常被稱為極角[1]。
在數學界,球座標標記也是
,但倾斜角與方位角的標記正好相反:
代表方位角,
代表倾斜角。數學界的標記被認為“提供了對常用的極坐標系記號的邏輯擴展,
仍是在xy-平面上的角度而
是在這個平面之外的角度”[2];一些作者将倾斜角列在方位角之前而写为
,还有作者对径向距离使用
而写为
或
[2]。
假定
是從原點到P點的連線與正z-軸的夾角,球座標系的標度因子分別為:
、
、
。
微分公式:
- 线元素是一个从
到
的无穷小位移,表示为公式:
;- 其中的
是在
的各自的增加的方向上的单位矢量。
- 面积元素1:在球面上,固定半径,天顶角从
到
,方位角从
到
变化,公式为:
。
- 面积元素2:固定天顶角
,其他两个变量变化,則公式为:
。
- 面积元素3:固定方位角
,其他两个变量变化,則公式为:
。
- 体积元素,徑向座標从
到
,天顶角从
到
,并且方位角从
到
的公式为:
。
微分算子,如
、
、
、
,都可以用
座標表示,只要將標度因子代入在正交座標系條目內對應的一般公式,即可得到如下公式:
。
。
。
。
正如二維直角座標系專精在平面上,二維球座標系可以很簡易的設定圓球表面上的點的位置。在這裏,我們認定這圓球是個單位圓球;其半徑是1。通常我們可以忽略這圓球的半徑。在解析旋轉矩陣問題上,這方法是非常有用的。
球座標系適用於分析一個對稱於點的系統。舉例而言,一個圓球,其直角座標方程式為
,可以簡易的用球座標系
來表示。
用來描述與分析擁有球狀對稱性質的物理問題,最自然的座標系,莫非是球座標系。例如,一個具有質量或電荷的圓球形位勢場。兩種重要的偏微分方程式,拉普拉斯方程與亥姆霍茲方程,在球座標裏,都可以成功的使用分離變數法求得解答。這種方程式在角部分的解答,皆呈球諧函數的形式。