在物理學裏,連續性方程式(英語:continuity equation)是描述守恆量傳輸行為的偏微分方程式。在適當條件下,質量、能量、動量、電荷等都是守恆量,因此很多傳輸行為都可以用連續性方程式來描述。
連續性方程式是局域性的守恆定律方程式。與全域性的守恆定律相比,這種守恆定律条件更强。本條目內的所有關於連續性方程式的範例都表達了同樣的思想──在任意區域內某種守恆量總量的改變,等於從邊界進入或離去的數量;守恆量不能夠增加或減少,只能夠從某一個位置遷移到另一個位置。
每一種連續性方程式都既可以用積分形式表達(使用通量積分),描述任意有限區域內的守恆量;也可以用微分形式表達(使用散度算符),描述任意位置的守恆量。其微分形式与積分形式通过散度定理相互关联。
在電磁理論裏,連續性方程式可以視為一條經驗定律,表達局域電荷守恆,或是從馬克士威方程組推導出的結果。「電荷連續性方程式」表明,電荷密度
的變率與電流密度
的散度,兩者的代數和等於零:
。
馬克士威-安培方程式滿足局域電荷守恆的連續性方程式
编辑馬克士威-安培方程式為
;
其中,
是磁場,
是電場,
是磁常數,
是電常數。
取散度於方程式的兩邊,由於旋度的散度必是零,
。
高斯定律的方程式為
。
將這方程式代入,可以得到
。
電流是電荷的流量。連續性方程式可以這樣論述:假若電荷從某微小體積元素移動出去(電流密度的散度是正值),則在那微小體積元素內的總電荷量會減少,電荷密度的變率是負值。從這解釋可以察覺,連續性方程式就是電荷守恆。
四維電流密度定義為
;
其中,
標記時空坐標,
是光速。
電荷守恆可以簡潔地由四維電流密度的散度表達,即連續性方程式
;
其中,
。
在量子力學裏,從機率守恆可以得到「機率連續性方程式」假设一個量子系統的波函數為
,機率流
的定義為
;
其中,
是約化普朗克常數,
是質量,
是
是共軛複數,
是取括弧內項目的虚部。
機率流滿足量子力學的連續方程式:
;
其中,
是機率密度。
應用高斯公式,可以等價地以積分方程式表示,
;(1)
其中,
是任意三維區域,
是
的邊界曲面。
方程式 (1) 左邊第一個體積積分項(不包括對於時間的偏微分)是測量粒子位置時粒子在
內的機率。第二個曲面積分是機率流出
的通量。總之,方程式 (1) 表明,粒子在三維區域
內的機率對於時間的微分,与其流出三維區域的機率
的通量,兩者之和等於零。
測得粒子在三維區域
內的機率
是
。
機率對於時間的導數是
;(2)
注意到
的含時薛丁格方程式為
;
其中,
是位勢。
將含時薛丁格方程式代入方程式 (2) ,可以得到
。
應用一則向量恆等式,可以得到
。
這方程式右手邊第一項與第三項互相抵銷,將抵銷後的方程式代入,
。
將機率密度方程式與機率流定義式代入,
。
该等式對於任意三維區域
都成立,所以被積項目在任何位置都必須等於零:
。