在数学中,泰勒级数 (英語:Taylor series )用无限项连加式——级数 来表示一个函数,这些相加的项由函数在某一点的导数 求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式 的英國 数学家 布魯克·泰勒 (Sir Brook Taylor )来命名的。通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做麦克劳林级数 ,以苏格兰数学家科林·麦克劳林 的名字命名。
拉格朗日 在1797年之前,最先提出帶有餘項的現在形式的泰勒定理。实际应用中,泰勒级数需要截断,只取有限项,可以用泰勒定理 估算这种近似的误差。一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒多项式 。一个函数的泰勒级数是其泰勒多项式的极限 (如果存在极限)。即使泰勒级数在每点都收敛,函数与其泰勒级数也可能不相等。在开区间(或复平面 上的开区间)上,与自身泰勒级数相等的函数称为解析函数 。
在复平面 上餘弦函數的實數部分。 在复平面 上餘弦函數的第八度逼近 兩個以上的曲線放在一起 下面我们给出了几个重要的麦克劳林级数。当变量 x {\displaystyle x} 是复数时,这些等式依然成立。
由无穷递缩等比数列求和式: 1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + ⋯ + x n + ⋯ ∀ x : | x | < 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+\cdots +x^{n}+\cdots \quad \forall x:\left|x\right|<1}
( 1 + x ) α = ∑ n = 0 ∞ ( α n ) x n = 1 + α x + α ( α − 1 ) 2 ! x 2 + ⋯ + α ( α − 1 ) ⋯ ( α − n + 1 ) n ! x n + ⋯ {\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+\cdots +{\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}x^{n}+\cdots } ∀ x : | x | < 1 , ∀ α ∈ C {\displaystyle \forall x:\left|x\right|<1,\forall \alpha \in \mathbb {C} } 二项式系数 ( α n ) = ∏ k = 1 n α − k + 1 k = α ( α − 1 ) ⋯ ( α − n + 1 ) n ! {\displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}} 。以 e {\displaystyle e} 为底数的指数函数 的麦克劳林序列是
e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ + x n n ! + ⋯ ∀ x {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots \quad \forall x} (对所有X都成立)以 e {\displaystyle e} 为底数的自然对数 的麦克劳林序列是
ln ( 1 − x ) = − ∑ n = 1 ∞ x n n = − x − x 2 2 − x 3 3 − ⋯ − x n n − ⋯ ∀ x ∈ [ − 1 , 1 ) {\displaystyle \ln(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots -{\frac {x^{n}}{n}}-\cdots \quad \forall x\in [-1,1)} (对于在区间[-1,1)内所有的X都成立) ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n x n = x − x 2 2 + x 3 3 − ⋯ + ( − 1 ) n + 1 n x n + ⋯ ∀ x ∈ ( − 1 , 1 ] {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}+\cdots \quad \forall x\in (-1,1]} (对于在区间(-1,1]内所有的X都成立)常用的三角函数 可以被展开为以下的麦克劳林序列:
sin x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − ⋯ ∀ x cos x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − ⋯ ∀ x tan x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( − 4 ) n ( 1 − 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n − 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ ∀ x : | x | < π 2 sec x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n E 2 n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 + x 2 2 + 5 x 4 24 + ⋯ ∀ x : | x | < π 2 arcsin x = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n ) ! 4 n ( n ! ) 2 ( 2 n + 1 ) x 2 n + 1 = x + x 3 6 + 3 x 5 40 + ⋯ ∀ x : | x | ≤ 1 arccos x = π 2 − arcsin x = π 2 − ∑ n = 0 ∞ ( 2 n ) ! 4 n ( n ! ) 2 ( 2 n + 1 ) x 2 n + 1 = π 2 − x − x 3 6 − 3 x 5 40 + ⋯ ∀ x : | x | ≤ 1 arctan x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 x 2 n + 1 = x − x 3 3 + x 5 5 − ⋯ ∀ x : | x | ≤ 1 , x ≠ ± i {\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots &&\forall x\\[6pt]\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots &&\forall x\\[6pt]\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}\left(1-4^{n}\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots &&\forall x:|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+\cdots &&\forall x:|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\arcsin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&\forall x:|x|\leq 1\\[6pt]\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x\\&={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {x^{3}}{6}}-{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&\forall x:|x|\leq 1\\[6pt]\arctan x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots &&\forall x:|x|\leq 1,\ x\neq \pm i\end{aligned}}} 在 tan ( x ) {\displaystyle \tan(x)} 展开式中的Bk 是伯努利数 。在 sec ( x ) {\displaystyle \sec(x)} 展开式中的E k 是欧拉数 。 sinh x = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 ∀ x {\displaystyle \sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad \forall x} cosh x = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n ∀ x {\displaystyle \cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}\quad \forall x} tanh x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n 4 n ( 4 n − 1 ) ( 2 n ) ! x 2 n − 1 ∀ x : | x | < π 2 {\displaystyle \tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad \forall x:\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}} sinh − 1 x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! 4 n ( n ! ) 2 ( 2 n + 1 ) x 2 n + 1 ∀ x : | x | < 1 {\displaystyle \sinh ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad \forall x:\left|x\right|<1} tanh − 1 x = ∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 1 x 2 n + 1 ∀ x : | x | < 1 {\displaystyle \tanh ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}\quad \forall x:\left|x\right|<1} tanh ( x ) {\displaystyle \tanh(x)} 展开式中的B k 是伯努利数 。 W 0 ( x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − n ) n − 1 n ! x n ∀ x : | x | < 1 e {\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}\quad \forall x:\left|x\right|<{\frac {1}{e}}} 泰勒级数可以推广到有多个变量 的函数 : ∑ n 1 = 0 ∞ ⋯ ∑ n d = 0 ∞ ∂ n 1 + ⋯ + n d ∂ x 1 n 1 ⋯ ∂ x d n d f ( a 1 , ⋯ , a d ) n 1 ! ⋯ n d ! ( x 1 − a 1 ) n 1 ⋯ ( x d − a d ) n d {\displaystyle \sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}{\frac {f(a_{1},\cdots ,a_{d})}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}
希腊哲学家芝诺 在考虑了利用无穷级数求和来得到有限结果的问题,得出不可能的结论 - 芝诺悖论 。后来,亚里士多德 对芝诺悖论在哲学上进行了反驳,但德谟克利特 以及后来的阿基米德 进行研究,此部分数学内容才得到解决。 正是用了阿基米德的穷竭法 才使得一个无穷级数被逐步的细分,得到了有限的结果。[2] 几个世纪之后,中国数学家刘徽 也独立提出了类似的方法。[3]
进入14世纪,马德哈瓦 最早使用了泰勒级数以及相关的方法[4] 。尽管他的数学著作没有流传下来,但后来印度数学家的著作表明他发现了一些特殊的泰勒级数,这些级数包括正弦 、余弦 、正切 、和反正切 三角函数等等。之后,喀拉拉学派 在他的基础上进行了一系列的延伸与合理逼近,这些工作一直持续到16世纪。
到了17世纪,詹姆斯·格雷果里 同样继续着这方面的研究并且发表了若干麦克劳林级数 。但是直到1715年,布鲁克·泰勒 [5] 提出了一个通用的方法来构建适用于所有函数的此类列级数。这就是后来被人们所熟知的泰勒级数。麦克劳林级数是泰勒级数的特例,是爱丁堡大学 的科林·麦克劳林 教授在18世纪发表的,并以其名字命名。
《自然哲學的數學原理 》的第三編“宇宙體系”的引理五的图例。這裡在橫坐標上有6個點H,I,K,L,M,N,對應著6個值A,B,C,D,E,F,生成一個多項式函數對這6個點上有對應的6個值,計算任意點S對應的值R。牛頓給出了間距為單位值和任意值的兩種情況。 牛頓插值公式 也叫做牛頓級數 ,由“牛頓前向差分方程 ”的項組成,得名於伊薩克·牛頓 爵士,最早发表为他在1687年出版的《自然哲學的數學原理 》中第三編“宇宙體系”的引理五[6] ,此前詹姆斯·格雷果里 於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續“泰勒展開”的離散對應。
對於x值間隔為非一致步長,牛頓計算均差 ,對x 值間隔為單位步長1或一致但非單位量的情況,計算差分 ,前向差分的定義為:
Δ h 1 [ f ] ( x ) = f ( x + h ) − f ( x ) Δ h n [ f ] ( x ) = Δ h n − 1 [ f ] ( x + h ) − Δ h n − 1 [ f ] ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{h}^{1}[f](x)&=f(x+h)-f(x)\\\Delta _{h}^{n}[f](x)&=\Delta _{h}^{n-1}[f](x+h)-\Delta _{h}^{n-1}[f](x)\\\end{aligned}}} 牛頓前向差分插值公式為:
f ( x ) = f ( a ) + x − a h ( Δ h 1 [ f ] ( a ) + x − a − h 2 h ( Δ h 2 [ f ] ( a ) + ⋯ ) ) = f ( a ) + ∑ k = 1 n Δ h k [ f ] ( a ) k ! h k ∏ i = 0 k − 1 ( ( x − a ) − i h ) {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(a)+{\frac {x-a}{h}}\left(\Delta _{h}^{1}[f](a)+{\frac {x-a-h}{2h}}\left(\Delta _{h}^{2}[f](a)+\cdots \right)\right)\\&=f(a)+\sum _{k=1}^{n}{\frac {\Delta _{h}^{k}[f](a)}{k!h^{k}}}\prod _{i=0}^{k-1}((x-a)-ih)\\\end{aligned}}} 這成立於任何多項式 函數和大多數但非全部解析函數 。
牛頓 在1665年得出並在1671年寫的《流數法》中發表了 ln ( 1 + x ) {\displaystyle \ln(1+x)} 的無窮級數 ,在1666年得出了 arcsin ( x ) {\displaystyle \arcsin(x)} 和 arctan ( x ) {\displaystyle \arctan(x)} 的無窮級數,在1669年的《分析學》中發表了 sin ( x ) {\displaystyle \sin(x)} 、 cos ( x ) {\displaystyle \cos(x)} 、 arcsin ( x ) {\displaystyle \arcsin(x)} 和 e x {\displaystyle e^{x}} 的無窮級數;萊布尼茨 在1673年大概也得出了 sin ( x ) {\displaystyle \sin(x)} 、 cos ( x ) {\displaystyle \cos(x)} 和 arctan ( x ) {\displaystyle \arctan(x)} 的無窮級數。布魯克·泰勒 在1715年著作《Methodus Incrementorum Directa et Inversa (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 )》中研討了有限差分 方法,其中論述了他在1712年得出的泰勒定理 ,這個成果此前詹姆斯·格雷果里 在1670年和萊布尼茨 在1673年已經得出,而約翰·伯努利 在1694年已經在《教師學報》發表。
他對牛頓的均差分的步長取趨於 0 {\displaystyle 0} 的極限 ,得出:
f ( x ) = f ( a ) + lim h → 0 ∑ k = 1 ∞ Δ h k [ f ] ( a ) k ! h k ∏ i = 0 k − 1 ( ( x − a ) − i h ) = f ( a ) + ∑ k = 1 ∞ d k d x k f ( a ) ( x − a ) k k ! {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(a)+\lim _{h\to 0}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\Delta _{h}^{k}[f](a)}{k!h^{k}}}\prod _{i=0}^{k-1}((x-a)-ih)\\&=f(a)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}f(a){\frac {(x-a)^{k}}{k!}}\\\end{aligned}}} ^ James S. Sochacki. The Modified Picard Method for Solving Arbitrary Ordinary and Initial Value Partial Differential Equations . James Madison University. [2008-05-02 ] . (原始内容 存档于2008-05-01) (英语) . ^ Kline, M. (1990) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times . Oxford University Press. pp. 35-37 ^ 吴文俊 《中国数学史大系》第三卷 367页^ Neither Newton nor Leibniz - The Pre-History of Calculus and Celestial Mechanics in Medieval Kerala . MAT 314. Canisius College. [2006-07-09 ] . (原始内容 存档于2006-08-06). ^ Taylor, Brook, Methodus Incrementorum Directa et Inversa [Direct and Reverse Methods of Incrementation] (London, 1715), pages 21-23 (Proposition VII, Theorem 3, Corollary 2). Translated into English in D. J. Struik, A Source Book in Mathematics 1200-1800 (Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1969), pages 329-332. ^ Newton, Isaac, (1687). Principia , Book III, Lemma V, Case 1